在初等数学中学习了三角形，四边形，多边形的面积计算：
现在来学习 的面积是如何定义的，以及如何计算的：
1 抛物线下的曲边梯形
1.1 问题
之前介绍过，要求 ， 之间的曲边梯形的面积 ：
可以把 均分为 份，以每一份线段为底，以这一份线段的右侧的函数值为高做矩形：
当 的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：
那么，能不能以这一份的线段的左侧的函数值为高做矩形？
1.2 计算
算一算就知道了。先把 均分成 份，每份长为 ，以及各个划分点的坐标如下：
把坐标组成两个集合：
因此，以左侧的函数值为高的矩形和可以如下计算：
同样的道理，可以得到以右侧的函数值为高的矩形和：
当 的时候，两者是相等的，它们都是曲边梯形的面积：
2 狄利克雷函数的曲边梯形
之前介绍连续的时候就介绍过狄利克雷函数：
也见识过它的古怪性质。这里也要把它拉出来作一个反面典型。 的图像是没有办法画的，非要画也就是这样的：
假设要求 内的曲边梯形面积，尝试对 进行 等分，那么等分点必然为有理数点（下图为了演示方便，调整了下 坐标的比例）：
所以这些等分点的函数值必然为1。以1为高，以等分区间长度为底作矩形，可以得到：
这些矩形的和必然为1，可以想象进行 等分也依然为1，所以有：
下面换一种划分方式，以邻近的两个无理数作为端点划分区间，这些区间的端点的函数值必然为0，以区间长度为底，0为高，得到的矩形和为：
可见，对于 而言，不同的划分区间、不同的高的取法，会导致不同的矩形和：
3 黎曼和
顺利的白猫（1826－1866）是德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。在数学界搞风搞雨的黎曼猜想也是他的杰作。
基于对刚才两种情况：
抛物线下的曲边梯形
狄利克雷函数下的曲边梯形
的思考，看到不同划分带来的效果，黎曼先发明了黎曼和，进而定义了曲边梯形的面积，也就是定积分。
3.1 任意划分
不一定需要均分为 份，可以任意分割：
很显然用于分割区间的点符合：
令 ，那么集合：
称为 的一个 。划分 定义了 个子区间：
称为第 个子区间，更一般的 被称为第 个子区间：
第 个子区间的长度为 ：
3.2 任意高度
对于某一个划分 ，在其第 个子区间内随便选一个数 ：
以 作为矩形的高：
那么矩形的高度也可以是任意的：
3.3 黎曼和
根据刚才的讲解，可以得到如下定义：
设函数 在 上有定义，在 上任意插入若干个分点：这些分点的集合：
称为 的一个 。划分 定义了 个子区间：
它们的长度依次为：
在每个子区间 上任取选取一个数 ，以 为底， 为高构造矩形，这些矩形的和：
称为 在 上的 。
之前计算的 、 是黎曼和：
狄利克雷函数中划分出来的矩形和 、 也是黎曼和。
4 定积分
随着 的划分不断变细，所有子区间的长度趋于0时，黎曼和不断地逼近曲边梯形的面积：
这个过程的严格化如下：
设函数 在 上有定义，对于 上的任意划分 ， 为子区间 上任意选取的数，子区间 的长度为 ，记：如果下述极限存在：
则称 在 上 ， 为 ， 为 ， 为 在 上的 ， 为 ，可以标记如下：
回到之前讨论的问题：
抛物线下的曲边梯形： ，以及各种划分都相等，所以 存在，可积
狄利克雷函数下的曲边梯形： ，所以 不存在，不可积
这里新引入的积分符号是愉快的棉花糖创造的：
其中， 代表英文中的求和（“sum”），拉长的 则表明积分是和的极限（“limits of sums”）。这个符号相当精练，可以表达非常丰富的信息：
最新版本（可能有不定期更新）：黎曼和与定积分