Chapter17：微积分基本定理 17.微积分基本定理17.1 用其他函数的积分来表示函数17.2 微积分第一基本定理17.2.1 微积分第一基本定理的大致证明17.2.2 积分下限不影响积分求导的结果 17.3 微积分第二基本定理17.3.1 微积分第二基本定理的大致证明 17.4 不定积分17.4.1 定积分和不定积分的不同17.4.2 不定积分的两个性质 17.5 使用微积分第一基本定理解决问题17.5.1 变量是积分下限17.5.2 积分上限是一个函数17.5.3 积分上下限都是函数17.5.4 导数伪装成极限 17.6 使用微积分第二基本定理解决问题17.6.1 计算不定积分导数和积分公式 17.6.2 计算定积分
17.微积分基本定理 17.1 用其他函数的积分来表示函数
当变量 x x x 在 t t t 轴上变化时，面积 F ( x ) F(x) F(x) 的大小也在相应变化
函数 F F F主要是由被积函数 f ( t ) f(t) f(t)和wzdld决定的。
改变 a a a的值仅仅使函数值增加或减少一个常数（即一块面积）
可以这样理解： v − t v-t v−t图像的面积为汽车位移，水平轴为时间，积分下限为起始时间 a a a，位移对时间的导数代表汽车的速度，上面提到常数a的选择（也就是初始时间）不会影响这个求导结果（也就是汽车速度），这样显然是合理的
17.3 微积分第二基本定理 17.3.1 微积分第二基本定理的大致证明
∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − F ( a ) int_a^bf(x)dx=F(x)bigg|_a^b=F(b)-F(a) ∫abf(x)dx=F(x)∣∣∣∣ab=F(b)−F(a)
计算定积分的方法：
黎曼和的极限反导数反导数（即导数的原函数）
如果两个函数具有相同的导数，那这两个函数的差是个常数
所有反导数之间的差都是一个常数
下面三个函数是 F ( x ) F(x) F(x) 的反导数，它们之间相差一个常数
现寻找一种简单表示反导数的方式
不定积分表示：“函数 f f f的反导数的集合”
(函数 f 的各个反导数因常数不同，所以所有的反导数组成了集合)
用实际变量替代虚拟变量
例子：
方法：前面添加负号，再互换积分上下限使用第一基本定理
例子：
不能直接使用第一基本定理
方法：将积分上限换元，然后使用链式求导法则，最后用第一基本定理
例子：
方法：用一个常数把积分分成两部分，然后都变为积分上限是函数，利用换元法、链式求导法则，第一基本定理
这个常数只要在被积函数的定义域内即可
例子：
17.5.4 导数伪装成极限 17.6 使用微积分第二基本定理解决问题 17.6.1 计算不定积分只要知道一个函数的导函数，就一定会知道此导函数的反导数
导数和积分公式
微分公式中，如果使用 a x ax ax 替代 x x x 那每一个相应的公式乘以 a a a
积分公式中，如果如果使用 a x ax ax 替代 x x x，那每一个相应的公式除以 a a a
17.6.2 计算定积分使用微积分第二基本定理求解定积分方法：
先求对应的不定积分分别把积分上下限代入不定积分，变为定积分求差