三四章之间的联系紧密,多看多做题,才能融会贯通
&1向量组及其线性组合n维向量——n个有次序的苏a1，a2，a3，am所组成的数组成为n维向量，
n维向量写出一行成为行向量，组成一列成为列向量
a = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) a= left( begin{matrix} a1\ a2\ vdots\ a_n end{matrix} right) a=⎝⎜⎜⎜⎛a1a2⋮an⎠⎟⎟⎟⎞
向量组：诺干个同维数的列向量（行向量）做组成的集合
定理1：向量b能有向量组A:a1,a2,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,$ ⋯ cdots ⋯an)的秩等于矩阵B=(A:a1,a2,am,b)的秩
定理2:向量组B:b1,b2,bj能有向量组A:a1,a2,am线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A,B)即A=(a1,a2,am)的秩等于(A,B)=(a1,a2,am,b1,b2,bj)的秩
推论向量组A,B等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)
定理3:向量组B能有A线性表示的充分必要条件是R(B) ⩽ leqslant ⩽R(A)
给定向量组A:a1,a2, ⋯ cdots ⋯an,如果存在不为零的数,k1,k2, ⋯ cdots ⋯,km,使:
称向量组A是线性相关的,否则就是线性无关
定理4:向量组 A : a 1 a 2 ⋮ a m A:a_1 a_2 vdots a_m A:a1a2⋮am线性相关的充分必要条件是R(A)<m,线性无关 R ( A ) = m R(A)=m R(A)=m
定理5: (1)诺向量 A : a 1 , ⋯   . a m A:a_1,cdots .a_m A:a1,⋯.am线性有关,则向量组 B : a 1 , ⋯   , a m , a m + 1 B: a_1, cdots ,a_m,a_m+1 B:a1,⋯,am,am+1也线性相关,反之亦然
(2)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于等于向量的个数m是,一定线性相关,特别的n+1个线性n维向量一定线性相关.
(3)设向量组 A : a 1 , ⋯ a m A:a_1,cdots a_m A:a1,⋯am线性无关,向量组 B : a 1 , ⋯ a m , b B: a_1,cdots a_m,b B:a1,⋯am,b线性相关,则向量b必能有向量组A线性表示,且表达式是唯一的
定义5: 在向量组A中,如果在A中能选出r个向量的话 a 1 , a 2 , ⋯ a r a_1,a_2,cdots a_r a1,a2,⋯ar满足
向量组== A 0 : a 1 , a 2 , ⋯   , a r A_0:a_1,a_2,cdots ,a_r A0:a1,a2,⋯,ar线性无关向量组A中任意r+1个向量(如果存在r+1个向量)都线性相关那么成向量组==A0==是一个最大线性无关向量组(简称最大无关组),最大无关组所关于所含向量个数r称之为向量组A的秩,记作RA只含零向量的向量组没有最大无关组,规定他的秩为0
定理6: 矩阵的秩等与他的列向量组的秩,也等于他的行向量组的秩 &4线性方程组解的结构
线性方程组Ax=0
性质1：诺x=ζ1，x=ζ2为向量方程组的解，则x=ζ1+ζ2也是向量方程组的解 （Aζ1=0，Aζ2=0，A（ζ1+ζ2）=Aζ1+Aζ2=0+0=0）
性质2，诺x=ζ1为线性方程组的解则kζ1也是向量方程组的解 （同理：k0=0）
基础解系：齐次线性方程组的解集的最大无关组
定理7：m×n的矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R(S)=n-r
性质3:
诺x=ζ1以及ζ2是向量方程组Ax=b的解则x=ζ1-ζ2对应的齐次的线性方程组Ax=0(b-b=0)
性质4:设x=n是Ax=b的解,x=m是Ax=0的解,则x=m+n是Ax=b的解
得到非齐次线组的通解等于对应的齐次方程组的通解+非齐次方程的特解
掌握例题24与例题26即可