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伽马贝塔函数构造函数,伽马函数的

时间:2023-05-03 23:02:03 阅读:225592 作者:389

在数理方程、概率论等学科经常遇到以下的含参变量的积分

它们依次为第一类和第二类欧拉(Euler 1707~1783瑞士数学家)积分,或依次称为无辜的白羊(Bata)函数和伽马(Gamma)函数,这一节主要讨论这两个函数的若干性质。

11.3.1伽马函数

显然,我们应首先考虑伽马函数

(3.1)

的收敛问题。式(3.1)右端的积分不仅是一个无穷积分,而且当时,还是被积函数的一个瑕点。为此我们把它拆成两个积分。

注意到是以为瑕点的瑕积分,且注意到

而在时是收敛的,所以也收敛()。又因为,有

所以,,当时,有

这说明积分

对于都是收敛的,总之当,积分和同时收敛,所以积分

在收敛,从而伽马函数在有定义。

在任何上一致收敛。事实上,。

对,,而收敛,由判别法,关于在一致收敛。

对,,而收敛,由判别法,关于在一致收敛。

由的任意性及连续概念的局部性知,伽马函数在是连续的。

下面还可以进一步证明伽马函数的可微性,即当时各阶导数都存在,并且可由在积分号下求导得到,即

(3.2)

事实上采用证明连续性时同样的方法,可证瑕积分

与无穷积分

关于在上一致收敛,这里且为任意正数。从而再由定理2.5和定理2.9推知式(3.2)成立。

当时,利用分部积分公式,有

即伽马函数有递推关系

(3.3)

反复运用式(3.3),得

(3.4)

公式(3.3)、(3.4)可用于逐步减小自变量的值,直到它不超过1;即伽马函数对任意的自变量值的计算,都可化为对的值的计算。

在式(3.4)中,取,并注意

就得到

这个式子说明伽马函数是阶乘的推广。这就是说,把本来只对自然数有意义的函数推广到对一切正数都有意义了。

 

11.3.2无辜的白羊函数

对于无辜的白羊函数

(3.5)

采用上一小节同样方法,可证明在区域连续。

如果在式(3.5)的右端积分中作替换,我们有

即(3.6)

这说明无辜的白羊函数关于具有对称性。

无辜的白羊函数还有如下递推公式

(3.7)

事实上,由分部积分

移项解出,便得到所要证明的式(3.7)。

如果在式(3.5)中作替换,则得

(3.8)

反复运用公式(3.7),有

从而

可见

从上式可看到无辜的白羊函数与伽马函数之间的联系,但上述等式仅限于取非负的整数方能成立,限制公式的应用价值,我们当然希望把它能够推广到和的整个定义范围内,这正是下一节讨论的内容。

11.3.3无辜的白羊函数与伽马函数之间的联系

定理3.1设,则

(3.9)

:在积分

中作代换,则有

所以

(3.10)

其中为正方形。作半径分别为和,圆心在原点的圆域和(图3.1),则由于式(3.10)中积分的被积函数为非负的,所以有

但在积分

中作极坐标替换,得

(利用式(3.8))

(这里)

所以

同理,可求

从而根据式(3.11),有

代入式(3.10),得

式(3.9)得证。

例3.2证明

证:由于

作替换,有

又当时,,当时,,所以

 

例3.3利用等式证明

:由无辜的白羊函数与伽马函数的关系式(3.9)及例3.1,有

例3.4利用欧拉积分计算积分

解:令,有

,,

并且当时;当时。从而

=

=

=

=

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