读了之前一篇文章，应该对先验信息和最大似然函数有了一定的理解，那下面来说贝叶斯模型最后一个总要概念：后验概率。
在上篇文章中，我们通过求解似然函数的概率最大值，求得了参数r，大家还会发现，提前抛硬币的次数不同，r最后的取值是不同的。
大家记住这个公式：后验概率公式
下面解释这个公式中的组成成分的意义：
1.这个公式中p(r)就是先验信息，正面朝上的概率。
2.p(yN|r)就是是似然函数，似然函数就是用来衡量已经发生的事可能性（比如已经抛了10次硬币，9次朝上），是一个概率值，如果我们的 r 很合适，那么p(yN|r)就应该很大—就是我们叫的 最大化似然函数，也就是这个函数对现象解释的很合理。
在给定 r 的条件下，抛硬币是一个独立重复实验，故p(yN|r)服从二项分布，而且，要注意的是
似然函数与实验过程中观测到的数据息息相关。下图给出了两个不同抛硬币次数的实验下的似然函数。其中一个抛了100次硬币，出现了70次正面；另一个抛了10次硬币，出现了6次正面。
从图中可以得到两个结论：
1.似然函数不是概率密度函数。因为概率密度函数的积分为1(曲线围成的面积为1)，而上图中两个似然函数曲线围成的面积显然不相等。
2.抛100次出现70次正面的这次实验 所代表的似然函数的参数 r 的取值范围大约为[0.6,0.8]，而抛10次出现6次正面的实验 所代表的似然函数的参数 r 的取值范围约为[0.2,0.9]，其变化范围要大于前者
于是我们可以知道：进行的实验次数越多，我们掌握的信息也就越多，关于先验信息 r 的不确定性也就越小。根据上面的似然函数的图像，在给定一次实验数据的前提下，比如抛100次硬币，出现了70次正面，我们的目标就是寻找使得似然函数取最大值的r，比如图中的r=0.7，这个0.7也更加符合先验信息。
3.p(yN)是边界似然函数
计算公式：
这是一个条件概率公式，从上式可以看出，(marginal likelihood)边界似然函数p(yN)，其实还是由似然函数p(yN|r) 和 先验分布p(r) 来决定。
边界似然函数的作用是用来：选择最合适的先验信息。大家先记住这句话。
4.开始介绍后验概率：p(r|yN)
作用：后验分布就是用来对未知数据进行预测的模型，这也是利用贝叶斯模型的原因，利用已知的，估计未知的。
在后验分布p(r|yN)中，我们基于已观测到的数据yN(训练样本)，求出具体的最合适的模型参数 r″，因而也就确定了一个具体的二项分布B(N,r″)。
那么对于下一轮试验，比如抛20次硬币，其中有8次正面向上的概率怎么计算呢：就可以讲利用后验概率公式去计算，yN变量 =8。
总结贝叶斯就是：贝叶斯后验分布就是利用，我们在实验前已经掌握了的信息(先验知识)，和做了若干次实验发现的一些规律(似然函数)，确定出合适的二项分布模型参数 r ，然后基于 r 来预测新的实验结果。
好了，后验概率介绍完了，用了比较特殊的二项分布的例子，于是大家注意二项分布有下面的特殊性：
大家要注意，投硬币是一个很特殊的问题，因为符合二项分布。
所有有了下面这句话:
概率论里面的一个理论知识：当似然函数服从二项分布时，选择服从beta概率密度函数来表示 先验分布 是一个很好的选择，这样似然函数与先验分布就构成了“共轭”关系。
共轭关系的好处就是:不用计算边界似然函数(公式1中的分母)了，从而简化了后验分布p(r|yN)的计算
所以，上面“8次正面向上的概率怎么计算”可以直接用没有分母的后验概率去计算：
上面的beta概率密度函数，可以完美的表达所有的先验信息，就是只告诉你这是一枚硬币，没有说做没做手脚。
就是对于先验信息，有如下三种情况：
对于上述三种情况而言，它们其实可以统一用beta 分布来表示( beta density function)。beta概率密度带有两个参数α 和 β，它的表达式如下：
对应的曲线为：
在上面我的讲解中，设置了先验信息是第3中情况，所以已经将两个参数取值。
下节介绍更加一般的贝叶斯情况。