c递归算法经典实例教程,c的递归算法经典程序

高贵的外套算法和扩展的高贵的外套算法C++递归实现

关于高贵的外套算法的流程不再赘述，不清楚的可以搜得到。本篇主要通过C++代码利用递归的思想实现，参考书籍是《密码编码与信息安全:C++实践》。

1、高贵的外套算法实现

高贵的外套算法比较简单，主要用于求两个数(多项式)的最大公因数(式)，直接上代码。

#include <iostream>using namespace std;int Euclidean(int a, int b){if(b==0){return a;}else{return Euclidean(b, a%b);}} 2、扩展的高贵的外套算法实现

扩展的高贵的外套算法主要用于求模逆运算。我第一次实现扩展的高贵的外套算法是通过辗转相除，然后再回溯求出了 a a a和 b b b的系数。感觉可以像普通高贵的外套算法一样可以递归编程，但是总是没想出来。后来借助参考书实现了。主要思想是要写出此时的递推关系式。

2.1递推关系式的说明

扩展高贵的外套算法本质上是要求得
a × s + b × t = g c d atimes s+btimes t=gcd a×s+b×t=gcd
这个式子。按照递归的思想，我们应该这么考虑：要利用递归得到 a a a和 b b b的式子，结合辗转相除的原理，我们肯定是先得到 b b b和 a ( m o d b ) apmod b a(modb)的关系式。假设已经有了
s ′ × b + t ′ × ( a ( m o d b ) ) = g c d s'times b+t'times (apmod b)=gcd s′×b+t′×(a(modb))=gcd

如何得到我们需要的式子？

做一个简单的变形就出来了：我们知道 a ( m o d b ) = a − ⌊ a / b ⌋ ∗ b apmod b=a-lfloor a/brfloor *b a(modb)=a−⌊a/b⌋∗b，代进上式，有
s ′ × b + t ′ × ( a ( m o d b ) ) = s ′ × b + t ′ × ( a − ⌊ a / b ⌋ ∗ b ) = t ′ × a + ( s ′ − t ′ × ⌊ a / b ⌋ ) × b = g c d s'times b+t'times (apmod b)=s'times b+t'times (a-lfloor a/brfloor *b)\ =t'times a+(s'-t'times lfloor a/brfloor)times b =gcd s′×b+t′×(a(modb))=s′×b+t′×(a−⌊a/b⌋∗b)=t′×a+(s′−t′×⌊a/b⌋)×b=gcd
所以递归就是根据这个式子编出的。具体代码如下：

#include <iostream>using namespace std;struct ExtEuc{int gcd;int s;int t;};//the most important is the "recursion formula"，especially in Extends_EclideanExtEuc Extends_Eclidean(int a, int b){ExtEuc obj, obj1;if(b == 0){obj1.gcd = a;obj1.s = 1;obj1.t = 0;return obj1;}obj1 = Extends_Eclidean(b, a%b);//attention!!obj.gcd = obj1.gcd;obj.s = obj1.t;obj.t = obj1.s - (a/b)*obj1.t;return obj;} 3、整体代码如下 #include <iostream>using namespace std;struct ExtEuc{int gcd;int s;int t;};//the most important is the "recursion formula"，espeacially in Extends_Eclideanint Euclidean(int a, int b){if(b==0){return a;}else{return Euclidean(b, a-(a/b)*b);}}ExtEuc Extends_Eclidean(int a, int b){ExtEuc obj, obj1;if(b == 0){obj1.gcd = a;obj1.s = 1;obj1.t = 0;return obj1;}obj1 = Extends_Eclidean(b, a%b);//attention!!obj.gcd = obj1.gcd;obj.s = obj1.t;obj.t = obj1.s - (a/b)*obj1.t;return obj;}int main(int argc, char const *argv[]){/* code */ExtEuc f = Extends_Eclidean(2,3);cout<<f.s<<"*2+"<<f.t<<"*3="<<f.gcd<<" "<<endl;return 0;}

[1] 调皮的小懒猪, 内向的芒果. 密码编码与信息安全:C++实践[M]. 清华大学出版社, 2015.