如上图，蚂蚁沿什么方向跑路才能活？
函数： z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)
如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在P点沿着L的方向导数
函数： f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在X轴正向 e 1 ⃗ = { 1 , 0 } vec{e_1}={1,0} e1 ={1,0} ，Y轴正向$vec{e_2}={0,1 }$ 的方向导数
分别为： f x , f y f_x,f_y fx,fy负方向导数： − f x , − f y -f_x,-f_y −fx,−fy
定理：如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是可微分的，那么在该点 沿任意方向L的方向导数都存在。
φ 为 X 轴 到 L 的 角 度 varphi 为X轴到L的角度 φ为X轴到L的角度
###例：
求 函 数 z = x e 2 y 在 点 P ( 1 , 0 ) 处 沿 从 点 P ( 1 , 0 ) 到 点 Q ( 2 , − 1 ) 的 方 向 导 数 . 求函数z=xe^{2y}在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向导数. 求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,−1)的方向导数.
解： 这里方向 l ⃗ vec{l} l 即为$vec{PQ}={1,-1}$，故x轴到方向 l ⃗ vec{l} l 的转角 φ = − π 4 . varphi=-frac{pi}{4}. φ=−4π.
所求方向导数