本短文介绍了总体、样本、总体方差、样本方差、抽样方差和标准误等概念以及它们之间的一些关系。因为一些外文材料的翻译不善以及老师课堂教学中的不重视，我身边仍有许多人将它们混淆。
本短文的参考资料主要包括Angrist和Pischke的《Mastering `metrics》以及Wooldridge的《Introductory Econometrics （Fifth edition）》。
1 总体方差和样本方差
总体和样本
首先提一下“总体（population）”和“样本（sample）”两个概念。总体包含我们研究的目标群体中所有的个体的数据，比如所有2008年的海归科学家的年龄；样本仅包含总体中一部分个体的数据，假设2008年的海归科学家总共10万人，我们费了大劲找到了1万人，这1万人的年龄就是刚才那个总体的一个样本。当然，总体和样本是相对的概念，如果某人研究时觉得1万个数据还是太多不好搞，从中随机抽了100个数据，这时候那1万个数据就成了总体了。
虽说样本和总体是相对的概念，但在大多数情况下，我们都会谦虚地认为我们手里的数据只是一个样本，是通过对总体进行抽样而获得的，或者说我们的研究问题总是使得直接研究总体是不可行的。人们把关于总体的统计量叫做“总体XX（population xxx）”，把关于样本的统计量叫做“样本XX（sample xxx）”。
我们用Y来表示刚才提到的2008年的海归科学家的年龄这个随机变量（random variable）。注意，“随机变量”得名是因为它取的值们由随机试验产生，并不直接因为它自己是随机的，这里面有细微的差别。
总体方差与样本方差
这里我们区分两种方差，“总体方差（population variance）”
和 “样本方差（sample variance）” 。简单来说，总体方差 就是对整个总体运用方差计算方法得到的结果：
其中
表示这个总体里面所有数据的平均值，即 “总体均值（population mean）”。总体均值也叫 数学期望，后者记作E( Y)。 N表示总体里数据的个数。 N可以为正无穷，表示这个总体是无穷的。但对于一个具体的样本，它的样本方差
该怎么算，取决于它的用途。因为总体方差在现实中很难获得，所以人们经常用样本方差来估计总体方差，比如在构建某些统计量的时候。这时候为了保证估计的无偏性（unbiasedness，以后详解），样本方差的计算公式就是：
其中
（读作 Y bar）表示这个样本里所有数据的平均值，即 “样本均值（sample mean）”。 n表示 样本容量，也就是这个样本里数据的个数。注意分母并不是 n而是 n-1。 但是如果仅仅希望用它来展示这个样本内数据的离散程度，那么样本方差在这里就没必要除以n-1了，除以n就好了。方差的算术平方根叫做“标准差（standard deviation）”，“deviation”有“偏离”的意思，指的是对平均值的偏离。当然，标准差同样分为“总体标准差（population standard deviation）”
和 “样本标准差（sample standard deviation）” 。在EXCEL里，方差和标准差都分别有总体版本和样本版本，其中样本版本的分母就是数据的个数减1，请根据需求谨慎使用。
2 抽样方差和标准误
被衍生出的随机变量—样本均值
刚才提到，Y的样本均值（sample mean）被记为
，也就是在变量符号上加一个横线。因为每从 Y的总体里进行一次随机抽样就能得到一个 ，所以根据定义， 自己也是一个随机变量了，它也拥有了总体、样本等等。这里可能有点抽象，它的总体是什么？是给定样本容量 n，所有可能的样本的平均值的集合。的总体方差被称为 “抽样方差（sampling variance）”，请注意与样本方差（sample variance）区分。 的总体标准差被称为 “标准误（standard error）”，也记作 。
标准误是个很重要的统计量，它存在是因为我们认为自己手头的数据只是一个样本而非总体。所以在建立了数学模型并用手头的数据估计出变量系数后，通常我们会问自己一个问题：如果用很多不同的样本估计同样的系数，估计值的变化会有多大？能度量这个变化性的统计量就是标准误。
如果标准误太大（这个“大”当然是相对于系数的取值而说的，同时和样本容量也有点关系），考虑到我们真正感兴趣的是总体的情况，那么刚才用这个样本估计出的系数就没有任何参考价值，这个系数就“不显著”。
我们手上毕竟只有一个样本，它只有一个平均值，怎么计算
的总体方差和总体标准差呢？下文将说明 的计算方法，它们表示的其实是“潜在的”变化性。抽样方差和总体方差的关系
显然，Y和
这两个随机变量的关系异常紧密，它们各自的总体方差，即 Y的总体方差 和抽样方差 有着这样的关系：
其中n为
对应的样本容量。推导过程已略去，但是请注意，推导的过程隐含了一个假设，即总体是无穷的（所以不要问如果样本容量和总体一样大怎么办）。在现实中人们更喜欢用两边的算术平方根，即：
其中SE即为“Standard Error”的缩写，直译过来就是“标准误”。为什么叫做“误（error）”呢？可以简单地这样理解：标准误是
的总体标准差，如果这个标准差越大， 的分布就越离散，我们用它来估计 Y的总体均值 的时候可能的误差就越大。直观地看，当样本容量 n逼近无穷大时，根据大数定律， 会逼近 Y的总体均值，那么标准误就应该趋近于0。显然，计算公式告诉我们结果的确是这样的。之前说过，总体标准差
在现实中很难获得，于是我们会用 来替代上式中的 ：
当然，这里的样本标准差
是总体标准差 的估计量，计算 的时候分母是 而不是根号下的 。3 小结
1）人们把关于总体的统计量叫做“总体XX（population xxx）”，把关于样本的统计量叫做“样本XX（sample xxx）”。
2）为了使样本方差成为总体方差的无偏估计量，样本方差计算时的分母并不是样本容量n而是n-1。但如果单纯想研究样本里数据的离散程度，分母就不用减1了。
3）因为每进行一次抽样就能得到一个样本均值
，所以 同样是一个随机变量。这个新随机变量的总体方差叫做 “抽样方差（sampling variance）”，这个新随机变量的总体标准差叫做 “标准误（standard error）”。现实中的抽样方差和标准误含义可能更丰富，但都与抽样（sampling）有关。