作者：桂
时间：2017-03-13 21:23:57
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6545162.html
前言
本文主要是上一篇文章的补充，主要针对常用正态分布曲线拟合，文中内容多有借鉴他人，最后一并给出链接。
一、理论分析
对于正态分布：
$f(x) = frac{1}{{sqrt {2pi } sigma }}{e^{ - frac{{{{(x - mu )}^2}}}{{2{sigma ^2}}}}}$
假设数据点{$x_i$,$y_i$}（$i = 1,2,3,...N$）符合正态分布曲线，对其进行拟合（曲线拟合不同于分布拟合，需要乘以幅度$A$）,给出准则函数：
对准则函数$J_0$求解即可实现参数估计。
由于求导比较复杂（可以借助Mathmatica/Maple），因此这里换一个思路：如果$e^x$—>$y$，则$x$—>$lny$，重新定义准则函数：
此时，变成了{$x_i$,$ln(y_i)$}的一元二次最mdyf乘拟合问题（此步简便，直接借助MATLAB的polyfit，不再细说）。假设拟合结果为：
对应参数估计：
二、代码实现
A-编程
根据上文理论分析，直接给出代码：
clc;clear all;close all;%generate the orignal datamu = 0;sig2 = 2;A = 4;x=-10:.1:10;y=A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(x-mu).^2/sig2/2)+.05*randn(1,length(x));subplot 211scatter(x,y,'k');grid on;%%curve fitting%1-Gauss distributionp = polyfit(x,log(y),2);sig2_est = -1/2/p(1);mu_est = sig2*p(2);A_est = exp(mu^2/2/sig2+p(3))*sqrt(2*pi*sig2);%plotsubplot 212scatter(x,y,'k');hold on;grid on;plot(x,A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(x-mu_est).^2/2/sig2),'r--','linewidth',2);结果图：
B-自带函数
如果单从实现角度，可以直接调用：
clc;clear all;close all;%generate the orignal datamu = 0;sig2 = 2;A = 4;x=-10:.1:10;y=A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(x-mu).^2/sig2/2)+0.05*randn(1,length(x));subplot 211scatter(x,y,'k');grid on;%%curve fitting%1-Gauss distributionf = fittype('a*exp(-((x-b)/c)^2)');[cfun,gof] = fit(x(:),y(:),f);yo = cfun.a*exp(-((x-cfun.b)/cfun.c).^2);%plotsubplot 212scatter(x,y,'k');hold on;grid on;plot(x,yo,'r--','linewidth',2);对应结果图：可见二者都可以实现拟合。
三、拟合优化
推导时，我们用了一个前提：如果$e^x$—>$y$，则$x$—>$lny$。对于接近于0处的噪声，$lny$显然会将噪声放大。现在增加噪声，观察编写的code与自带两种结果：
可以看到，对于$y_i$接近0处的噪声，$lny$会将噪声放大。拟合结果非常不理想，现在考虑对编程拟合方法进行优化：
既然在映射到$ln$函数时，$y_i$接近于0点处的噪声会放大，考虑只通过数值较大的点进行拟合，而直接舍去接近0的点。即：添加阈值Th，仅考虑部分样本点。
给出优化后的代码：
clc;clear all;close all;%generate the orignal datamu = 3;sig2 = 2;A = 40;xold=-10:.1:10;yold=A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(xold-mu).^2/sig2/2)+0.5*randn(1,length(xold));subplot 211scatter(xold,yold,'k');grid on;%%curve fitting%select datax = [];y = [];Th = 0.3;%Thresholdfor n = 1:length(xold) if yold(n)>max(yold)*Th; x = [x,xold(n)]; y = [y,yold(n)]; endend%1-Gauss distributionp = polyfit(x,log(y),2);sig2_est = -1/2/p(1);mu_est = sig2*p(2);A_est = exp(mu^2/2/sig2+p(3))*sqrt(2*pi*sig2);%plotsubplot 212scatter(xold,yold,'k');hold on;grid on;plot(xold,A/sqrt(2*pi*sig2)*exp(-(xold-mu_est).^2/2/sig2),'r--','linewidth',2);优化结果：
问题得到改善。
参考：
高斯拟合：http://www.cnblogs.com/linkr/p/3632032.html