概率论在博客里已经浅要研究过，今天我们要将概率论和统计学综合起来。
那现在我们的产物就是数学期望！
引子：假如你在一次考试之中获得90分的概率是1/4；获得100分的概率是1/4，获得10分的概率是1/2，那么你的最终得分会是多少呢？？
期望：定义：数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
期望针对的是最终的结果，它是一个确定的数值，而概率只是可能发生，并未实际发生。
通俗的说，概率是对未发生事情的分析，期望是对将来值的计算，但是结果有可能绝对不可能发生（稍稍思考这句话）。
在引子里，你的得分是一个随机的变量记为X，他可取值为100,90,10；
所以你的数学期望是E（x）=100*1/4+90*1/4+10*1/2=52.5
所以你的伪平均得分就是52.5分，但是你不可能获得52.5分。
上面的例子就是期望的一种离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量数学期望：定义：如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量的一切可能的取值 与对应的概率 乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望 (若该求和绝对收敛），记为 它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
公式： 离散型随机变量X的取值为 为X对应取值的概率，可理解为数据 出现的频率 ，则：
当然这里给出离散型数学期望的定理（摘自百度百科，博主并不会证明，还望各位dalao评论区多多指教）
定理：设Y是随机变量X的函数： （g（X） 是连续函数）
它的分布律为 若 绝对收敛，则有:
连续型随机变量的数学期望：（本期望需导数与积分知识，博主知识水平有限，且信息竞赛几乎无涉及）
先给出重要的期望性质：1. 2. 3. 4.当X和Y相互独立时，
在概率论的学习中，我们已经学习过全概率公式了。
这里也有类似的全概率公式，把所有情况不重复，不遗漏的分成若干类，每类计算数学期望，然后把这些数学期望按照每类的概率加权求和
全期望公式：
pij=P(X=xi,Y=yj)(i,j=1,2,…)pij=P(X=xi,Y=yj)(i,j=1,2,…)，当X=xiX=xi时，随机变量Y的条件期望以E（Y|X=xi）E（Y|X=xi）表示。则全期望公式：
所以：E（Y）=E（E（Y|X））=∑iP（X=xi）E（Y|X=xi）E（Y）=E（E（Y|X））=∑iP（X=xi）E（Y|X=xi）
根据已经求出的期望推出其他状态的期望，也可以根据一些特点和结果相同的情况，求出其概率。
这就引出了我们的期望dp
对于一些比较难找到递推关系的数学期望问题，可以利用期望的定义式：E（X）=∑ipixiE（X）=∑ipixi，根据实际情况以概率或者方案数（也就是概率*总方案数）作为一种状态，而下标直接或间接对应了这个概率下的变量值，将问题变成比较一般的统计方案数问题或者利用全概率公式计算概率的递推问题