基础激励下基于模态叠加法谐响应分析
基础激励下基于模态叠加法谐响应分析
摘要： 针对ANSYS等商业有限元软件无法进行基础激励下基于模态叠加法的谐响应分析的问题，将以绝对响应为变量的动力学方程改写为基础响应与结构相对响应之和的形式，重新推导以相对响应为变量的结构动力学方程.以组合梁结构为例进行MATLAB程序仿真，并以ANSYS的PSD分析结果验证所推导的动力学方程的正确性，说明基础激励下利用模态叠加法进行谐响应分析的可行性.
关键词： 基础激励； 模态叠加法； 谐响应分析； 绝对响应； 相对响应； ANSYS； MATLAB
中图分类号： O324文献标志码： A
0引言
谐响应分析可用以分析结构响应与载荷之间的传递特性，获得结构振动的传递函数.该传递函数包括响应与载荷之间的幅值和相位关系.在工作中通过模态试验获得某结构的模态特性，测量得到结构的前几阶固有频率和模态阻尼比，通过ANSYS建模获得基础激励下结构的传递函数.但是，在ANSYS的谐响应分析中，若采用全方法，则无法输入各阶模态阻尼比，且计算耗费时间；若采用模态叠加法，则能提高计算速度，节约机时，但其帮助文件和相关文献指出其缺点是不能施加非零约束[12]，即不能进行基础激励下基于模态叠加法的谐响应分析.ANSYS中的PSD分析能够得到基础激励下结构的响应谱，但是忽略响应与激励之间的相位关系.针对这一问题，本文进行基础激励下基于模态叠加法的谐响应分析动力学方程推导，对典型结构进行数值仿真，进一步获得结构随机振动响应的功率谱，并与ANSYS软件的PSD分析结果进行对比，两者吻合非常好，证实推导的动力学方程的正确性.1理论分析
在有限元分析时，频域下线性系统动力学方程[35]为MX¨(ω)+CX?(ω)+KX(ω)=F(ω) (1)式中：M，C和K分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；X¨，X?和X分别为系统的加速度、速度和位移响应，均为绝对量；Fω为系统的外载荷.
假设系统受到基础加速度激励，此时可将式(1)按照约束节点和非约束节点[69]进行分块，写为MddMds
MsdMssX¨d
X¨s+CddCds
CsdCssX?d
X?s+KddKds
KsdKssXd
Xs=0 (2)式中：下标d和s分别为结构非约束节点的集合和约束节点的集合；X¨d，X?d和Xd为非约束节点的绝对响应；X¨s，X?s和Xs为基础约束节点的绝对响应；Mds，Cds和Kds分别为结构边界单元的耦合质量、耦合阻尼和耦合刚度矩阵.
式(2)中第一部分可改写为MddX¨d+CddX?d+KdsXd=-MdsX¨s-CdsX?s-KsdXs (3)进行基础加速度激励下的谐响应分析，即进行单位基础加速度激励下的结构响应计算.式(3)可以利用全方法直接进行计算，但当结构自由度规模较大时，计算困难，耗费机时.式(3)不能直接采用模态叠加法进行计算，其原因在于模态叠加法的假设前提不成立.模态叠加法是假设结构的响应可表示为振型向量的线性组合，即X=Ψη (4)式中：Ψ为结构的振型矩阵；η为结构在正则坐标下的结构响应.需要指出的是，式(4)计算的是结构的相对约束点的响应，是结构的相对响应，而式(3)中的响应是结构的绝对响应，不能直接采用模态叠加法进行计算.因此，需要重新推导动力学方程.
将式(2)中结构的绝对响应表示为结构相对于约束节点的相对响应与基础节点响应之和，即Xd=Xd，c+Xs (5)式中：Xd，c为结构非约束节点的相对响应.
式(2)可改写为MddMds
MsdMssX¨d，c+X¨s
X¨s+CddCds
CsdCssX?d，c+X?s
X?s+KddKds
KsdKssXd，c+Xs
Xs=0 (6)式(6)的第一个部分可写为MddX¨d，c+CddX?d，c+KddXd，c=-MddX¨s-MdsX¨s-CddX?s-CdsX?s-KddXs-KdsXs (7)式(7)可采用模态叠加法进行谐响应计算，得到相对响应，由式(5)可得到结构的绝对响应.
2数值仿真
组合梁结构的有限元模型见图1.结构参数见表1，边界约束为支撑梁底部的固支约束.
图 1组合梁结构有限元模型，mm
Fig.1Finite element model of composite beam structure， mm
表 1组合梁结构的模型参数
Tab.1Parameters of composite beam structure截面高度/
mm截面宽度/
mm密度/
(kg/m3)弹性模量/
Pa泊松比10102 7007.1E+100.3
本算例模型未实际加工，因此未