1. 倒立摆系统的数学建模[1]
倒立摆系统是一个非线性、存在耦合的
系统，首先利用牛顿力学对其进行受力分析，接着进行线性化处理，以便于进行控制系统的分析和控制器的设计。
1.1. 系统抽象
倒立摆系统可以抽象为下图中由小车和质量均匀的摆杆构成的系统。
图 1
其中， 为小车的质量， 为加在小车上沿水平方向的力， 为小车在水平方向上的位移， 为摆杆的质量， 为摆杆偏离垂直方向的角度， 为摆杆转动轴心到摆杆质心的长度，另外还有图中未画出的摩擦系数 以及摆杆的转动惯量 。
1.2. 受力分析及建立方程
小车水平方向所受的合力为：
摆杆水平方向受力分析为：
摆杆垂直方向受力分析为：
又有力矩平衡方程式：
综合以上（1）（2）（3）（4）式可以得到：
可以看出，式（5）是两个非线性微分方程，对其进行线性化处理。由数学知识可以知道，当 值比较小时，有 ，所以方程可以化简为：
1.3. 传递函数
令u=F，对方程进行拉普拉斯变换，可以得到：
1.4. 状态空间
选取 、 、 、 为状态变量，输出为角度和位移，那么由（6）式可得下列式子：
因此，可以得到状态空间如下：
+
1.5. 参数取值
参考多个文献[1]-[2]后，对模型中的各个参数取值如下：
代入（7）（8）（11）（12）式可得：
1.6. 系统的开环输出
利用MATLAB对上述系统进行脉冲响应输入（看作是轻推一下小车），其响应曲线为：
图 2
图 3
可以看出，系统是不稳定的。
2. 多种控制器设计
在系统建模的基础上，依据所学知识及相关资料分别利用PID控制、极点配置和线性二次型最优控制对系统进行控制器设计。
2.1. PID控制器设计
PID控制器是一种应用较为广泛的控制器，其传递函数可以表示为：
其中， 为比例系数， 为积分时间常数， 为微分时间常数。系统加入PID控制器后，可以用方块图表示如下：
图 4
PID控制器参数的整定一般遵循先比例、后积分、再微分的规律。在参考临界比例度法和稳定边界法等参数整定的方法时，发现这些方法的效果都不是很好，故不采用上述方法。
采用simulink对加入PID控制器后的系统 仿真如下：
图 5
调整参数发现，单独P控制或者PI控制难以得到响应速度快、稳态误差小的响应曲线。而经过不断调整参数发现在 时，可以得到响应速度快（约为0.06 s）、稳态误差小（约为0）、超调量小（约为10%左右）的响应（如图6）。
图 6
加入PID后的传递函数变为
。
2.2. 状态反馈极点配置
通过已学过的极点配置的方法使得被控对象的闭环极点落在期望的位置上。
2.2.1. 判断系统的能控性
构造能控矩阵 ，计算得
通过以上计算可知系统完全可控。
2.2.2. 期望的闭环极点
设定期望的系统性能如下：
那么，可以计算得 ，闭环极点为 。另外可以设置另外两个闭环极点为-100。
2.2.3. 状态反馈矩阵
利用MATLAB中的极点配置设计函数[3]acker可以计算出状态反馈矩阵K
2.2.4. 控制效果
引入状态反馈矩阵后，系统变为 ，反馈后的系统阶跃响应为
图 7
由以上响应曲线可以看出，在输入为阶跃时，输出的角度可以恢复到零度，只产生较小的位移（数量级为 ），这意味着在实际物理系统中摆杆能够保持竖直。同时，调节时间约为0.45 s，超调量小于0.2%，可以认为，系统的响应达到了预期的要求。
2.3. 线性二次型最优控制（Linear QuadraticOptimal Control）设计控制器[4]
2.3.1. LQR问题概述
设有LTI系统
定义二次型性能指标函数为
其中，S是对称半正定终端加权阵， 为对称半正定状态加权阵， 是对称正定控制加权阵， ， 是期望的输出向量。
对于讨论的倒立摆系统而言， ，那么， ，此时性能指标函数为
此时的线性二次型最优控制问题可以表述为：当系统受扰偏离原输出平衡状态时，要求产生一个控制向量，使系统输出 保持在原零平衡状态附近，并使性能指标最小，亦可称为输出调节器问题。
加权矩阵Q和R的取值反映了控制的要求和期望，应依据对状态向量中各个分量的重视程度和对控制向量的各个分量的具体要求取值。
2.3.2. MATLAB中相关函数
MATLAB中有关于LQR的最优控制函数，其中lqr函数是一个针对连续控制系统LQR调节器设计的函数。
Lqr函数格式 ，其中K为最优反馈增益矩阵。
2.3.3. 倒立摆最优反馈矩阵
依据相关资料[4]-[5]以及不断进行尝试，取R=1，
计算得
引入最优反馈矩阵后系统变为
系统此时的阶跃响应为
图 8
从响应曲线可以看出，系统的调节时间约为1.5s左右，响应的超调量很小，其数量级为 ，因此，系统有较好的动态性能，满足期望的设计要求。
3. 总结
从控制的效果来看，通过前面的仿真可以得出，在对倒立摆系统的控制中，PID控制具有较小的调节时间，但是超调量相较于其他两种方法而言较大；极点配置法和LQR都具有不超过1%的超调量，但是LQR的调节时间相较于其他两种方法都比较长。
从控制器设计的难易程度以及适用性来看，PID控制中各个参数的选择或者依赖于已有的经验方法，或者依赖于控制器设计者对PID控制中各种环节的理解，在对倒立摆的控制中不是很方便；极点配置法能够允许控制器设计者依据对控制系统性能指标的要求选择认为合适的期望闭环极点从而达到良好的控制效果，对倒立摆系统的控制是比较好的；线性二次型最优控制可以综合考虑各个状态变量的控制要求，同时注意到了控制中的能耗问题，在控制系统的物理实现中有一定的意义，但是最优控制的算法较为复杂，不易被理解。[6]
总之，在实际的应用中，可以根据控制系统的不同要求选择不同的控制器设计方法。
参考文献：
[1] 漂亮的鸡．基才状态反馈控制的倒立摆系统分析和设计[J]．国外电子元器件，2008(8)：9-11．
[2] dpdxh．基于倒立摆的PID控制算法的研究[J]．现代电子技术，2012,35(23)：152-154．
[3] 舒适的爆米花主编．自动控制原理．第5版．北京：科学出版社，2007：652-684．
[4] 壮观的八宝粥，激情的钢笔．自动控制原理．第1版．北京：化学工业出版社，2011：358-364．
[5] ladhf．LQ 最优控制系统中加权阵的确定[J]．自动化学报，1992，18(2)：213-217．
[6] 鳗鱼老师，dzdmf，pgddgz等．倒立摆控制方法的比较研究[J]．工业仪表与自动化装置[J]，2016(2)：11-15．