转载自：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_16_07_1/index.html
这个来自台大的网站蛮多有意思的内容，要是能翻译成简体就更好了~
写的很清楚，适合放在教科书上。
曹亮吉
二項分布是離散型機率模型中最有名的一個，其次是 Poisson 分布，它可以看成為二項分布的一種極限情形。
假定某機關的總機在一個短時間 內會接到一次電話的機率p 與 成正比：，α 為一常數。又假定在此短時間內接到多於一次電話的機率微乎其微，可以略去不計。那麼在時間 t 內，會接到x 次電話的機率分布為何？
我們可以把 t 分成 n 小段，每小段長為。整個問題可看成為：在每個 時間內，我們做了一次試驗，其成功（接到電話）的機率為p。如此做了 n 次，那麼成功了x 次的機率為何？所以我們要的機率分布正是二項分布 b(x;n,p)。令，則
當 t 保持不變（亦即 λ 不變），而讓 ()，則
所以
（以 表之，此處的 p 代表 Poisson）
因為
所以 的確是個機率分布（各種可能的機率之和等於 1）。
這就是說，在時間 t 內，接到 x 次電話的機率為。這是以 λ 為參數的 Poisson 分布，而 λ（）是在時間t 內所期望接到的電話數。
Simeon D. Poisson（1781～1840年）是一個著名的法國數學家及物理學家。到了晚年，他熱衷於將數學的機率論用到司法的運作上。他在這方面的主要著作是1837年出版的《司法機率的研究》(Recherches sur la Probabilité des Jugements)。雖然這本書的主旨是要對司法運作有具體的貢獻，但它包含了許多純粹數學的、機率的理論，所以可以看成是一本以司法應用為例的機率課本，這本書德文版的書名《機率論及其重要應用》(Lehrbuch der Wathrscheinlichkeitsrechnung und deren wichtigstein Auwendungen) 看起來和內容較為一致。在這本書的數學推演中，Poisson 從二項分布的極限得到了這個日後以他為名的機率分布。
Poisson 雖然得到這樣的機率分布，但在書中他並沒有繼續討論這種分布的性質，在往後的研究中，Poisson 似乎也把它忘掉了。
在十九世紀的許多統計研究報告上，Poisson 這個名字經常出現，但這與 Poisson 分布無關，大家所關注的是他在常態分布方面的研究。常態分布在解釋理論與數據變異之間的關係非常成功，當時許多人認為常態分布是機率與統計之間唯一的橋梁了。
直到十九世紀末，Bortkiewicz 才注意到 Poisson 分布與某些數據之間也有類似的關聯。Ladislaus von Bortkiewicz（1868～1931年）是出生在俄國聖彼得堡的波蘭人。他在高兴的月饼 大學得到學位（1893年），並曾在 Strassburg 做過研究。在 Strassburg 時，他寫了一本小冊子《小數法則》(Das Gesetz der Kleinen Zahlen)，專門研究 Poisson 分布。他不但在理論方面推演了 Poisson 分布的許多性質，並且在應用方面，也比較了一些實際發生的、有關於自殺或意外傷害的數據。Poisson 分布雖然出於 Poisson 之手，但真正使它為人重視，使它成為統計學一部分的可要算是 Bortkiewicz了。
在這本書中，Bortkiewicz 舉了一個至今仍是膾炙人口的例子，說明數據契合 Poisson 分布的情形。從1875到1894年的20年間，德國的十四個軍團部有士兵被馬踢傷因而致死的人數紀錄。這 20×l4 = 280個（團年）紀錄，按死亡人數來分，則如表一的左二欄所示。
x=每年死亡人數團年數280p(x;0.7)0144139.019197.323234.13118.0421.400.2
在280個紀錄中，死亡的人數共有196，因此致死率為 （人/團年）。我們就以此 α 為 Poisson 分布中的常數，t=1 年，則 。理想中每團每年死亡人數x 要遵行 Poisson 分布 p(x;0.7)。表一中右欄就是根據這樣的 Poisson 分布，把280團年該有x 人死亡的團年數列出。它和表一的中間一欄的數據的確相當吻合。
Poisson 分布既然是二項分布的極限情形，反過來 Poisson 分布也可以做為二項分布的近似值。譬如 p=0.04,n=49，則。我們把b(x;49,0.04) 與 p(x;1.96) 之值相對照就得表二
xb(x;49,0.04)p(x;1.96)00.1350.14110.2760.27620.2760.27030.1800.17640.0860.08650.0320.03460.0100.01170.0030.00380.0010.001
我們發現對應的值相當接近。一般，若用列表方式，則二項分布 b(x;n,p) 要兼顧三個變數x,n,p，而 Poisson 只要兩個：x,λ，所以較為方便。若直接計算，則因
b(x;49,0.04)=Cx49(0.04)x(0.96)49-x
所以二項分布算起來相當費事。另一方面 之值可用遞迴方法迅速求得： 或 ；而 可由指數表中查得。因此只要情況適合，我們當然就捨二項分布而就 Poisson 分布了。
通常只要 n 很大，p 很小， 不大不小而且是個已知定數，Poisson 分布就可以代替二項分布了，譬如某商店每星期進進出出的客人很多（=n），但每個客人買魚子醬的機率很小（=p），只知道平均一星期賣出兩罐：。那麼這家商店每星期開始時應有幾罐魚子醬的庫存？當然不能只有兩罐，因為平均歸平均，售量超過平均數的機率很大。當然庫存太多也會影響整個商店的運作。根據 Poisson 分布 p(x;2)，我們算得表三：
λ012345p(x;2).135.271.271.180.090.036.017
由表三可知售量達到 5 罐以上的機率只有 5.3%，而達到 6 罐以上則只有 1.7%。所以合理的庫存量為 4 罐（平均19星期才會有一次缺貨），如果怕萬一，那麼 5 罐就非常保險（平均59星期才會有一次缺貨）。
我們從另一個角度來看上面的數據。假設某工廠每做100個螺絲釘，平均會有兩個不合規格，而這是合理的不合格率。根據 Poisson 分布，偶而出現 3 個或 4 個不合規格的螺絲釘也是正常的現象。但是如果出現的頻率太高，或出現 5 個以上的不合規格的螺絲釘，那麼生產過程就可能出了問題。Poisson 分布是品質管制的利器，它可以幫助我們決定生產過程是否出了毛病。
Poisson 分布還有種種的用途：放射性物質的蛻變、細胞間因受 X 光照射而引起的染色體交換次數、細菌和血球的計數、交通事故數及死亡率等等莫不遵行 Poisson 分布。其實，無論在自然科學、在工業、在農業、在商業、在醫藥、在交通、在社會或在軍事上，無不可找到 Poisson 分布的應用。
和二項分布一樣，我們也可以從理論方面來探討 Poisson 分布的期望值 μ 及散布差 。由，我們馬上算得
所以 Poisson 分布的確是以 λ 為期望值。
在〈二項分布與大數法則〉（《科學月刊》第十六卷第六期）一文中，我們曾導出二項分布的 Chebyshev 不等式
如果把二項分布換成 Poisson 分布或任何離散型分布，不等式也照樣成立，因為在導出不等式的過程中只用到 b(x;n,p) 是種機率分布這件事，並沒有用到b(x;n,p) 之值。現在既然知道 Poisson 分布的（=λ）是個（與n 無關的）定值，所以我們也可以得到關於 Poisson 分布的大數法則：
亦即：在 Poisson 分布的機率模型假定之下，只要試驗的次數 n 夠大，則事件發生的次數比，從機率的觀點來看，就會很接近期望值 λ。