下面给出几个常用的α与的数值： ? 关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值 来代替，在计算所求量的同时，可计算出 。 α 0.5 0.05 0.003 0.6745 1.96 3 减小方差的各种技巧 显然，当给定置信度α后，误差ε由σ和N决定。要减小ε，或者是增大N，或者是减小方差σ2。在σ固定的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N需增加两个数量级。因此，单纯增大N不是一个有效的办法。 另一方面，如能减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果。因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意。后面课程将会介绍一些降低方差的技巧。 效率 一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样的费用(使用计算机的时间)两者来衡量。这就 是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为 ，其中c 是观察一个子样的平均费用。显然 越小，方法越有效。 蒙特卡罗方法的特点 优点 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。 受几何条件限制小。 收敛速度与问题的维数无关。 具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。 缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、形象的特点。 受几何条件限制小 在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分 时，无论区域Ds的形状多么特殊，只要能给出描述Ds的几何特征的条件，就可以从Ds中均匀产生N个点 ，得到积分的近似值。 其中Ds为区域Ds的体积。这是数值方法难以作到的。 另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。 收敛速度与问题的维数无关 由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特卡罗方法的收敛速度为 ，与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。也就是说，使用蒙特卡罗方法时，抽取的子样总数N与维数s无关。维数的增加，除了增加相应的计算量外，不影响问题的误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。而一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维数的幂次方而增加，而且，由于分点数与维数的幂次方成正比，需占用相当数量的计算机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。 具有同时计算多个方案与多个未知量的能力 对于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡罗方法有时不需要像常规方法那样逐个计算，而可以同时计算所有的方案，其全部计算量几乎与计算一个方案的计算量相当。例如，对于屏蔽层为均匀介质的平板几何，要计算若干种厚度的穿透概率时，只需计算最厚的一种情况，其他厚度的穿透概率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同时得到。 另外，使用蒙特卡罗方法还可以同时得到若干个所求量。例如，在模拟粒子过程中，可以同时得到不同区域的通量、能谱、角分布等，而不像常规方法那样，需要逐一计算所求量。 误差容易确定 对于一般计算方法，要给出计算结果与真值的误差并不是一件容易的事情，而蒙特卡罗方法则不然。根据蒙特卡罗方法的误差公式，可以在计算所求量的同时计算出误差。对干很复杂的蒙特卡罗方法计算问题，也是容易确定的。 一般计算方法常存在着有效位数损失问题，而要解决这一问题有时相当困难，蒙特卡罗方法则不存在这一问题。 程序结构简单，易于实现 在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块性强，易于实现。 收敛速度慢 如前所述，蒙特卡罗方法的收敛速度为 ，一般不容易得到精确度较高的近似结果。对于