相关系数的范围,线性相关相关系数公式

协方差

cov(X,Y)=∑ni=1(xi−x¯)(yi−y¯)n=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]=E(XY)−E(X)E(Y)
X,Y独立统计，cov(X,Y)=0

方差

var(X)=∑ni=1(xi−x¯)2n=E[(X−E(X))2]=E(X2)−E2(X) 平方的平均减掉平均的平方，方差时协方差的当X＝Y的特例

相关系数r(X,Y)是研究两个向量之间线性相关程度的量
相关系数的计算

r(X,Y)=∑ni=1x′iy′in=∑ni=1xi−x¯s(x)yi−y¯s(y)n=cov(X,Y)var(Y))‾‾‾‾‾‾‾√var(Y)‾‾‾‾‾‾√=∑ni=1(xi−x¯)(yi−y¯)∑ni=1(x−x¯)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√∑ni=1(y−y¯)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√
x¯ 和s(x)是样本统计量， x¯ 是样本平均值，s(x)是样本标准差。

r(X,Y)的取值在－1和1之间
r(X,Y)=0,则X与Y完全不相关
|r(X,Y)|=1,则X与Y完全相关，X与Y之间是线性函数关系
|r(X,Y)|<1,代表由于X变动引起的Y变动的程度，这个值越大，代表Y的变动程度越大
|r(X,Y)|>0.8, X与Y之间高度相关
|r(X,Y)|<0.3, X与Y之间低度相关
其他情况， X与Y之间中度相关

如果Y＝a+bX, b ≠ 0, 那么当
b>0时，r(X,Y)=1
b<0时，r(X,Y)=-1
注意，相关系数只跟b的符号有关，跟b的绝对值没有关系