一个分块矩阵求逆矩阵的结论例题,分块矩阵求逆矩阵的例题

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P205 例15

B = ( 0 B 1 B 2 0 ) B=begin{pmatrix}0&B_1\B_2&0end{pmatrix} B=(0B2​​B1​0​)
其中 B 1 、 B 2 B_1、B_2 B1​、B2​分别是 r 、 s r、s r、s级矩阵。求 B B B可逆的充要条件以及 B B B可逆时的 B − 1 B^{-1} B−1

解 由Laplace定理可得 ∣ B ∣ = ( − 1 ) r s ∣ B 1 ∣ ∣ B 2 ∣ |B|=(-1)^{rs}|B_1||B_2| ∣B∣=(−1)rs∣B1​∣∣B2​∣ ⇒ ∣ B 1 ∣ ≠ 0 , ∣ B 2 ∣ ≠ 0 则 B 可 逆 Rightarrow |B_1|ne0,|B_2|ne0则B可逆 ⇒∣B1​∤​=0,∣B2​∤​=0则B可逆此时有 ( 0 B 1 B 2 0 ) ⋅ ( 0 B 2 − 1 B 1 − 1 0 ) begin{pmatrix}0&B_1\B_2&0end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}0&B_2^{-1}\B_1^{-1}&0end{pmatrix} (0B2​​B1​0​)⋅(0B1−1​​B2−1​0​) = ( I r 0 0 I s ) =begin{pmatrix} I_r&0\0&I_send{pmatrix} =(Ir​0​0Is​​) ⇒ Rightarrow ⇒ ( 0 B 1 B 2 0 ) − 1 = ( 0 B 2 − 1 B 1 − 1 0 ) begin{pmatrix}0&B_1\B_2&0end{pmatrix}^{-1}=begin{pmatrix}0&B_2^{-1}\B_1^{-1}&0end{pmatrix} (0B2​​B1​0​)−1=(0B1−1​​B2−1​0​)