一、00 型未定式
二、∞∞ 型未定式
三、其他未定式
本节研究：函数之商的极限limf(x)g(x) (00 或∞∞ 型)
转化↓洛必达法则
导数之商的极限limf ′ (x)g ′ (x)
定理1.1)lim x→a f(x)=lim x→a F(x)=02)f(x)与F(x)在U ° (a)内可导,且F ′ (x)≠03)lim x→a f ′ (x)F ′ (x) 存在(或为∞)⟹lim x→a f(x)F(x) =lim x→a f ′ (x)F ′ (x) (洛必达法则)
该定理的证明用到了柯西中值定理
洛必达法则： lim x→a f(x)g(x) =lim x→a f ′ (x)g ′ (x)
推论1.定理1中x→a换为x→a + ,x→a − ,x→∞,x→+∞,x→−∞之一,2)作相应的修改，定理1仍然成立.
推论2.若limf ′ (x)F ′ (x) 仍属00 型,且f ′ (x),F ′ (x)满足定理1条件,则limf(x)F(x) =limf ′ (x)F ′ (x) =limf ′′ (x)F ′′ (x)
例1.求lim x→1 x 3 −3x+2x 3 −x 2 −x+1
解：原式=lim x→1 3x 2 −33x 2 −2x−1 =lim x→1 6x6x−2 =lim x→1 66−2 =32
注意：以上前两步求导是因为满足00 型，满足洛必达法则。不是未定式不能用洛必达法则！
例2.求lim x→+∞ π2 −arctanx1x
解：原式=lim x→+∞ 0−11+x 2 −1x 2 =lim x→+∞ x 2 1+x 2 =lim x→+∞ 11x 2 +1 =1
定理2.1)lim x→a |f(x)|=lim x→a |F(x)|=∞2)f(x)与F(x)在U ° (a)内可导,且F ′ (x)≠03)lim x→a f ′ (x)F ′ (x) 存在(或为∞)⟹lim x→a f(x)F(x) =lim x→a f ′ (x)F ′ (x)
例3.求lim x→+∞ lnxx n (n>0).
解：原式=lim x→+∞ 1x nx n−1 =lim x→+∞ 1nx n =0
例4.求lim x→+∞ x n e λx (n>0,λ>0).
解：1)n为正整数时:原式=lim x→+∞ nx n−1 λe λx =lim x→+∞ n!λ n e λx =n!λ n lim x→+∞ 1e λx =n!λ n ⋅0=02)n不是正整数时,存在正整数k，使当x>1时,x k <x n <x k+1 从而x k e λx <x n e λx <x k+1 e λx 由1)可知lim x→+∞ x k e λx =0lim x→+∞ x k+1 e λx =0根据夹逼定理得:lim x→+∞ x n e λx =0
说明：1)例3,例4表明x→+∞时,lnx,x n (n>0),e λx (λ>0)后者比前者趋于+∞更快.2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决所有计算问题.例如，lim x→+∞ 1+x 2 − − − − − √ x =lim x→+∞ x1+x 2 − − − − − √ 3)若limf ′ (x)F ′ (x) 不存在(≠∞)时,limf(x)F(x) ≠limf ′ (x)F ′ (x) 例如，lim x→+∞ x+sinxx ≠lim x→+∞ 1+cosx1 lim x→+∞ 1+cosx1 极限不存在
三、其他未定式：0⋅∞,∞−∞,0 0 ,1 ∞ ,∞ 0 型 解决方法：通分、去倒数、取对数
例5.求lim x→0 + x n lnx(n>0).
解：lim x→0 + x n lnx=lim x→0 + lnxx −n =lim x→0 + 1x −nx −n−1 =lim x→0 + 1−nx −n =−1n lim x→0 + x n =0
例6.求lim x→π2 (secx−tanx).
解：lim x→π2 (secx−tanx)=lim x→π2 1−sinxcosx =lim x→π2 −cosx−sinx =0
例7.求lim x→0 + x x .
解：lim x→0 + x x =lim x→0 + e xlnx =e (lim x→0 + xlnx) =e (lim x→0 + lnx1x ) =e (lim x→0 + 1x −1x 2 ) =e (lim x→0 + −x) =e 0 =1
例8.求lim x→0 tanx−xx 2 sinx .
解：lim x→0 tanx−xx 2 sinx =lim x→0 1cos 2 x −12xsinx+x 2 cosx =lim x→0 sin 2 xx(2sinx+xcosx)cos 2 x =lim x→0 x 2 x(2x+xcosx)cos 2 x =lim x→0 1(2+cosx)cos 2 x =lim x→0 1(2+1)⋅1 2 =13
使用洛必达法则需要注意的几个问题：
1、使用洛必达法则之前，应该先检验其条件是否满足.
2、如果使用洛必达法则之后，命题仍是未定型极限，且仍符合洛必达法则的条件，可以再次使用洛必达法则.
3、如果 00 型或 ∞∞ 型极限中含有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以简化运算.
4、如果能进行等价无穷小代换或更等变形配合使用洛必达法则，也可以简化运算.