条件极值与函数习题课
第十四、十五章 条件极值与隐函数习题课
一、重要内容
极值
1)、无条件极值的计算和判断
主要步骤：
i)、计算可疑点：驻点＋偏导数不存在的点。
Ii)、判断
A)、判断可疑点为极值点，常用方法：
a)、定义法：计算，若存在某个，使
得在上恒成立，则为极小值点；若存在某个，使得在上恒成立，则为极大值点。
b)、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值，则唯一的可疑点必是极大值点；即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值点。
c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。
通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性质。
B)、判断可疑点不是极值点，常用方法有：
a)、定义法：对任意的，确定一对点，使得
则，不是极值点。
b)、二阶导数法：H为不定矩阵时，不是极值点。
2)、条件极值的计算与判断
主要步骤：
i)、构造L-函数；
ii)、计算L-函数的驻点；
iii)、判断，常用方法为二阶微分法。
3)、隐函数极值的计算
4)、极值的应用
主要有 计算函数闭区域上的最值；证明多元不等式。
2、隐函数存在定理
要求：熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数存在定理。
二、典型例题
例1、讨论的极值。进一步研究沿任意直线在的极值性质。
解、先计算驻点。求解
得唯一驻点。
判断。计算得，H=0，故二阶导数法失效。(同样，，因而不能确定对任意的(dx，dy)，都成立>0,二阶微分法同样失效。)用定义判断。注意到
因而，对任意,取r充分小满足，则 且，故不是极值点。
再考虑沿直线y=kx在的极值性质。转化为无条件极值讨论。
当k=0时，沿直线y=0, 函数z转化为一元函数，因而为其极小值点，故对应的为函数z沿直线y=0的极小值点。
当时，沿直线y=kx，则，为驻点，进一步判断为极小值点，因而，对应的为原函数z沿直线y=kx的极小值点。
注、事实上，在原点的任意邻域内，通过曲线将邻域分成曲线下面的部分、夹在两条曲线之间的部分和曲线上面的部分，函数z在上下两部分上取值为正，在曲线间的部分取值为负，而正取自使函数不同号的部分里。当沿直线y=kx考虑时，由于当x充分小时，直线y=kx总在曲线的上方，因而，取不到使函数z取负值的点如，故是极值点。
注、结论表明：设为函数z的定义域内某一点，沿任一过直线，为函数z极值点，并不一定表明点就是函数z在其定义域内的极值点。
例2、计算z=f(x,y)=在由直线x+y=6及x轴、y轴所围成的闭区域D上的极值和最值。
解、先计算D内的极值点。求解
的D内驻点。
(注、(0,y)、(4,0)也是驻点，但不在D内，而在D的边界上。)
判断。计算得，H=32，
故，为极大值点且对应的极大值为。
其次，计算边界上的最值。
记D的边界为 、、
。则，，计算得
最后，对内部极值和边界值进行比较。比较内部极值和边界值可知：函数z在D的内部有极大值，而在整个闭区域D上，函数的最大值为，最小值为f(4,2)=-64.
例3、设为正定矩阵，计算在上的最值。
解、在有界闭集 上连续，因而存在最大值点
和最小值点，故，最小值，又由正定性得。进一步计算如下：构造
，
得驻点方程组：
，
由于在D上必能达到最大值和最小值，故上述方程组必有解。和就是其两个解。由(3)知：其解必为非零解，因而对(1)、(2)，必有
解得 ，
。
设为其一组解，则代入方程组且由 得
，
因而， 。即对应的一组解必满足，因此，必有
，。
例4、计算在下的最大值。
其中
解、显然，函数f>0，此时，f(x,y,z)与具有相同的单调性，故可以采用对数法。
记，构造L-函数
则，求解如下驻点方程组
得。
又，计算得
故，在，因而在点达到极大值。
又，沿边界x=0,y=0,z=0，都有，故所求最大值为。
注、注意掌握上述求极值的对数法。
例5、计算在条件下的最小值。
其中。
解、构造L－函数，求解方程组
，
得唯一驻点。
由题意和驻点的唯一性，则在处达到最小值。
特别，当时，在下在处达到最小值，因而，成立不等式
。
注、利用题意和驻点的唯一性，不需进一步的判断，可以直接给出唯一的驻点处的极值性质，这也是计算极值时应该掌握的技巧之一。
例7、证明：时成立不等式 。
证明、用极值理论证明不等式。记，，只需证明在D上成立 ，