多变量微积分里面有这么一个结论：
如果函数 的偏导数 、 在点 连续，那么函数在该点可微。下面来解释这个结论，并且减弱这个结论的条件。
先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义，后面要用到。如果非常熟悉了，可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。
1 连续的含义
通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的：
1.1 没有缝隙
我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙：
如果把曲线看作一条道路的话，那么不管是蚂蚁、人还是自行车，都有能力从左边走到右边：
而不连续的曲线会有断裂：
蚂蚁通过能力太差，就没有办法跨过裂缝：
1.2 另一层含义
从代数上我们可以看到另外一层含义。假设 附近某点为 ，根据连续的性质有：
利用极限的性质可以得到：
因此上式表明， 与附近 的值相差非常小，这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。
2 可微的含义
2.1 单变量函数的微分
一元的情况下，在 点可微指的是，在 点附近可以用直线来近似曲线，这根直线就是切线：
距离 越近，这种近似越好，体现为切线和曲线之间的相差越来越小：
令 ，那么 附近曲线与直线的近似可以表示为：
2.2 多变量函数的微分
多元的情况下，就要复杂一些。关于下面内容，想了解更详细的可以参看：
如何通俗的解释全微分？
多元函数中全微分与偏导数、偏微分的直观区别是什么？
如何理解全导数？
2.2.1 偏导数
首先要对偏导数有所了解。多变量的函数 可以是三维空间中的曲面
平面 是一系列平面，它们与曲面交于一条条曲线：
很显然，点在这些曲线上运动， 是不会变化的，只有 会变化：
偏导数 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度（变化率），对于 点，知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似，也就是这条曲线的切线，或者称为偏微分：
这种近似关系可以表示为：
同样的道理，偏导数 描述的是只有 值变化的曲线上的点的速度，假设这样的曲线为 ，其切线与之的近似关系可以表示为：：
2.2.2 微分
多变量的函数 在 点的微分，指的是在 点找到一个平面来近似曲面，这就是切平面：
切平面与曲面的近似可以表示为：
上面出现了 ，这是因为此点的邻域是一个平面（下面用圆来表示这个平面，实际上这个圆可以任意大小）：
此圆的半径可以表示为：
2.3 微分与偏微分的关系
很显然，过 点，并不是只有 方向的曲线（两个方向的曲线的切线就是偏微分）：
还有无数别的方向的曲线（随便画了两条）：
这些曲线的切线（假如有的话）要在同一个平面，这个平面就是切平面，才叫做可微（详情参考之前给出的参考文章）。
而偏微分只是无数切线中的两条，所以：
比如 就是偏导数存在，但是不可微。它的图像是：
在 点， 与 的交线是下面红色的直线，分别与 轴和 轴重叠：
因此，在 点的偏微分就是 轴和 轴。但是 与 的交线是：
在 点形成了一个尖点：
很显然此曲线的切线不存在（此曲线的左右切线由方向导数决定）。因此 在 点不可微（具体细节也请参看参考文章）。
3 偏导数连续推出可微
前面说了很多，就是为了得到下面这个表格：
下面讲解涉及的三维图像太复杂，不容易看清，所以把三维图像画到二维中，应该不会影响理解。
先给出 、 、 、 四个点，把它们的三维坐标也标出来：
点的偏导数连续，分别为：
从 出发，运动到 ，很显然只有 方向有变化：
因此 点的值为：
继续往上走到 点：
因为偏导数连续，所以附近的偏导数也是存在的
假设 的偏导数为 ，那么可得：
这里就是关键了，因为偏导数连续，所以 、 偏导数差不多，有：
因此上式可以改写为：
至此，得到了 点可微的结论（上面的等价性没有证明，在一些《数学分析》书籍中，可微采用的是类似的定义）。
注:亦可以利用二元函数中值定理证明,但不管采用哪种证明方法,连续作为条件的作用正是将x+Δx处的偏导转化为x处的偏导,从而化为全微分的线性主部
如果仔细看上面的证明，会发现只用到了 连续，因此条件可以减弱一些：
如果函数 的偏导数 、 在点 及其邻域存在，偏导数其中之一在邻域内连续，那么函数在该点可微。 由此就可以理解这样一句话,函数在一点可微,在这点偏导数不一定连续
经典的分段函数反例中,函数偏导在(0,0)点周围剧烈"震荡"但是"振幅很小",有多小呢?小到甚至是Δx的高阶无穷小,由此就不在依赖于偏导数,所以偏导数甚至可以不存在!
最新版本可以参见： 为什么偏导数连续，函数就可微？