§8.7 方向导数与梯度
一、方向导数
1、定义
设函数在点的某一邻域内有定义,自点引射线,设轴正向到射线的转角为,为邻域内且在上的另一点。
若比值
这里,当沿着趋向于时的极限存在,称此极限值为函数在点沿方向的方向导数,记作。
即
2、方向导数的存在性条件(充分条件)及计算
【定理】若在点可微分, 则函数在该点沿着任一方向的方向导数都存在, 且有
其中为轴正向到方向的转角。
【证明】据在点可微分,有
【例1】求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。
解:轴到方向的转角为，而
在点处，有
故
注:方向导数的概念及计算公式,可方便地推广到三元函数。
二、梯度
1、定义
设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,那么对于任一点,都可以定义向量
并称此向量为函数在点的梯度,记作。
即
2、方向导数与梯度的关系
设是方向上的单位向量,则
当方向与梯度方向一致时,,从而达到最大值；也就是说, 沿梯度方向的方向导数达到最大值。
另一方面,
这表明:函数在点增长最快的方向与方向导数达到最大的方向(梯度方向)是一致的。
3、等高线及其它
二元函数在几何上表示一个曲面,该曲面被平面所截得的曲线的方程为
此曲线在面上的投影是一条平面曲线,它们在平面上的方程为。
对于曲线上的一切点, 函数的值都是, 所以,我们称平面曲线为函数的等高线。
【例2】曲面的等高线为 (),
这些等高线为同心圆。
【例3】作抛物线在面上的等高线。
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