设两个向量a=→OA=(x1,y1),b=→OB=(x2,y2)，两向量夹角为θ，向量点积的定义如下：
a⋅b=|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2
第一部分的证明
第二部分的证明
第二部分的定义有什么意义？关键问题是，为什么|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2？下面就对这个问题进行证明。
∵→OA=→OB+→BA∴→BA=→OA−→OB=(x1−x2,y1−y2)
在△OAB中，根据余弦定理：|→BA|2=|→OA|2+|→OB|2−2|→OA||→OB|cosθ，并且|→BA|2=(x1−x2)2+(y1−y2)2，|→OA|2=x21+y21，|→OB|2=x22+y22，所以(x1−x2)2+(y1−y2)2=(x21+y21)+(x22+y22)−2|→OA||→OB|cosθ，因此便有：
|→OA||→OB|cosθ=x1x2+y1y2
即：
|a|⋅|b|cosθ=x1x2+y1y2
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