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三重积分和多重积分方法
在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的
n
维空间中去
.
类似于第三节
,
我们先定义一个
R
3
中集合的可求体积性
.
同样可以给出一列类似的结论
.
读者自己推广
.
这里将不再赘述
.
一、
引
例
设一个物体在空间
R
3
中占领了一个有界可求体积的区域
V
，它的点密度为
z
y
x
f
,
,
，
现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域
V
分割为若干个
可求体积的小区域
n
V
V
V
,...,
,
2
1
，
其体积分别是
n
V
V
V
,...,
,
2
1
，
直径分别是
n
d
d
d
,...,
,
2
1
，
即
}
,
||
sup{|
i
i
V
Q
W
WQ
d
,
(
i
=1,2,
…
,
n
)
,
|WQ|
表
示
W,
Q
两
点
的
距
离
．
设
}
,...,
,
m
ax
{
2
1
n
d
d
d
，则当
很小时，
z
y
x
f
,
,
在
i
V
上的变化也很小．可以用这个小
区域上的任意一点
i
i
i
z
y
x
,
,
的密度
i
i
i
z
y
x
f
,
,
来近似整个小区域上的密度，这样我们可
以求得这个小的立体的质量近似为
i
i
i
i
V
z
y
x
f
,
,
，所有这样的小的立体的质量之和即为
这个物体的质量的一个近似值．即
i
i
i
i
n
i
V
z
y
x
f
M
,
,
1
．
当
0
时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即
i
i
i
i
n
i
V
z
y
x
f
M
,
,
lim
1
0
．
从上面的讨论可以看出，
整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，
都是先分割，
再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．
二、
三
重积分的定义
设
z
y
x
f
,
,
是空间
3
R
中的一个有界可求体积的闭区域
V
上的有界函数，
将
V
任意分割
为若干个可求体积的小闭区域
n
V
V
V
,...,
,
2
1
，
这个分割也称为
V
的分划，
记为
P
:
n
V
V
V
,...,
,
2
1
.
o
o
j
i
V
V
(
空
,
j
i
),
其体积分别是
n
V
V
V
,...,
,
2
1
，直径分别是
n
d
d
d
,...,
,
2
1
．设
}
,
.
.
.,
,
m
ax
{
2
1
n
d
d
d
,
或记为
||
P
||.
在每个小区域中任意取一点
i
i
i
i
V
z
y
x
,
,
，作和
i
i
i
i
n
i
V
z
y
x
f
,
,
1
(
称为
Riemann
和
)
，若当
0
时，这个和式的极限存在，则称其极