§4.1  不定积分的概念与性质

一、原函数的概念

【定义】已知是一个定义在区间内的函数，如果存在着函数， 使得对内任何一点，都有

    或     

那么函数就称为在区间内的原函数。

例如：是在区间上的原函数。

对于原函数，我们很自然地会提出如下几个问题：

【问题一】具备什么条件，就能保证它的原函数一定存在?

【问题二】若有原函数，那么它的原函数会有多少个?

【问题三】若的原函数不止一个，是否可给出它的原函数的通式?

问题一将在下一章中讨论，这里我们仅给出它的结论。

【原函数存在定理】

如果函数在区间内连续，那未在区间内它的原函数一定存在，即：存在，对一切的，均有。

简言之：连续函数一定有原函数。

若是在区间内的一个原函数，即

那么对于任意常数，由于 ，于是，函数族中的任何一个函数也一定是在区间内的原函数。由此可知：

如果有原函数，那么原函数的个数为无限多个。

问题三可由下述结论来解决

【结论】设定义在区间上，如果是在上的一个原函数，那未函数族    (是任意常数) 是在区间上的所有原函数全体。

证明： 设是在上的另一个不同于的原函数，

则  ，

  ( 是某一常数 )

即 。

这表明：  

因此，是在上的全体原函数。

二、不定积分概念

【定义】在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分， 记作 

其中：称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。

由前面的讨论，如果是在区间内的一个原函数，那么表达式就是在上的不定积分，即

【例1】求  

解：，  所以  是的一个原函数，

因此   (  任意常数 )

【例2】设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点的横坐标的两倍，求此曲线的方程。

解：设所求曲线方程为，按题设， 曲线上任一点处的切线斜率为，这表明： 是的一个原函数。

由于 ， 所求曲线应是该曲线族中的一条，由于所求曲线过点(1，2)，故: ， 。

于是， 所求曲线为 。

曲线族中任意常数的几何意义( 运行程序gs0401.m )：

的图形可由抛物线沿轴方向移动距离得到。

当时， 图形向上移；  当时，图形向下移。

由此例，我们可将原函数，不定积分这些概念用几何术语来加以描述。

1、函数的一个原函数的图形叫做函数的一条积分曲线， 其方程为    

2、不定积分的图形叫做函数的积分曲线族， 它们的方程为

。

3、由可知：

在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此平行。

由不定积分的定义，有如下关系式：

   或  

  或  

由此可见，微分运算 (记号为) 与不定积分运算 (记号为)是互逆的。当记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。

三、基本积分表

由于不定积分运算与微分运算是互逆的， 那么，我们可由基本初等函数的微分公式给出基本不定积分公式。

例如：  ，

当时，  由   有

 

基本不定积分公式， 同学们可自行给出， 这里不再赘述。

四、不定积分的性质与举例

【性质一】函数之和的不定积分等于各个函数的不定积分之和， 即

【性质二】求不定积分时，  被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的外面来，即

    ( 为非零常数 )

这两个性质极易证明，只需对等式两边求导，比较两边是否相等即可。

利用不定积分的两个性质与基本的不定积分公式，我们可求一些简单函数的不定积分。

【例3】求 

 

【例4】求 

 

【例5】求 

 

【例6】求 

 

【例7】求 

 

【例8】求 

§4.2  换元积分法

一、第一类换元法

设具有原函数，即

，  。

若又是另一新变量的函数， 且可微，由复合函数的微分法有  ，从而

综合上述讨论，有

【定理一】设具有原函数，可导，则有换元积分公式

这个定理表明：欲求不定积分，可令，则不定积分化为，它将原来的积分变量换成了新的积分变量，求出不定积分之后，再把代换回去。

【例1】求下列不定积分

1、，  2、，  3、

解1

令 ，  ，

。

解2

令  ，  ，

。

解3

令 ，  ，

。

由上面的解题可发现，变量只是一个中间变量，在求不定积分的过程中，只是起过渡作用，最终都要换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以采用不直接写出中间变量的做法。

例如：

研究这些解法可观察到一个非常鲜明的特点：

将被积表达式凑成某个函数的微分形式，再利用积分运算与微分运算的互逆性，达到求不定积分的目的。

因此，第一类换元法又俗称为“凑微分法”。

【典型例题】  求不定积分  。

解： 由复合函数求微分的脱衣原理， 有

于是我们有下述典型的凑微分过程：

 

显而易见，凑微分过程与用脱衣原理求复合函数微分过程是完全相反的。因此，凑微分的过程可视为运用“穿衣原理”进行穿衣的过程 --- 即：后脱的衣服应先穿(或：先脱的后穿)。

一般来说，小孩子是先学会脱衣服，再学会穿衣服。这是由于穿衣服有个次序问题。因此，用凑微分法求不定积分较用脱衣原理求复合函数的导数要困难得多。

【例2】求  

解：

【例3】求 

解：

二、第二类换元法

第一类换元法： 

有时会遇到相反情形：

显然，这类换元公式成立需要一定的条件，我们来探讨一下它所需要条件。

(1)、代换应可导；

(2)、等式右端的不定积分要存在，即存在着原函数；

(3)、求出后，必须用的反函数代回去，这样，需要函数具有反函数。

【定理二】若

1、是单调函数；

2、可导， 且；

3、具有原函数

则有换元公式

其中： 是  的反函数。

【证明】

 令  ， 则

，

这表明： 是的原函数， 于是有：

【例4】求

解：令 

【例5】求 

解： 令 

， ，

这里： 

 

对此例，我们给出两点注解：

1、对于第二类换元法，求反函数是一个麻烦的地方，往往需要一定的技巧。上例的反函数不能简单地用，并将它代入中，得到  这个“形式过重”表达式，因为它不便应用。

2、这一不定积分是一个重要的积分公式。

第二类换元法有一个十分有用的代换 —— 倒置代换。这一代换处理某些不定积分功效显著(用它可消去被积函数的分母中的因子， 特别是幂次为偶数的情形)。

【例6】求 

解： 令 

最后，我们指出：使用变量替换求不定积分，关键是选择恰当的替换，这需要经验。记往! 不适宜的替换会使问题弄得愈来愈复杂。

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