偏微分方程数值模拟的常用方法主要有有限差分法(FDM )、有限元法(FDM )、有限体积法(FVM )三种，本文对这三种方法进行简要介绍和比较。
一方面，有限差分法有限差分法(Finite Difference Methods )是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。 该方法包括区域划分和差商两个过程代替导数。
具体而言，首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。 接着，使用Taylor级数展开等方法，在网格节点上将偏微分方程式的导数项置换为函数值的差商进行离散化，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是将微分问题直接转化为代数问题的近似数值解法，是一种数学概念直观、表达简单、发展快、比较成熟的数值方法。 用商代替导数的形式称为有限差分形式，从形式的精度上看有一次形式、二次形式、高阶形式。 从差分的空间离散形式考虑，有中心形式和迎风形式。 关于过渡方程，考虑到时间方向的离散，有显式格式、隐式格式、交替显式格式等。
目前常见的差分格式主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。 差分方法主要应用于结构网格，网格步长一般根据问题模型和计数稳定条件确定。
2 .有限元法有限元法(Finite Element Methods )的基础是变分原理和分片多项式插值。 该方法的构建过程包括以下三个步骤。
首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析知识扩大求解空间)。 接着，将计算区域分割为相互不重叠的有限个单元[三角形、四边形、四面体、六面体等]。 再次，在各单元内选择适当的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写为由各变量或其导数的节点值和所选切片插值基函数组成的线性表示，得到微分方程的离散形式。 利用插值函数局部枝集的性质和数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元法有较完善的理论基础，具有求解区域柔性(复杂区域)、单元类型柔性(适合结构网格和非结构网格)、程序代码共性)、数值模拟软件大多基于有限元法)等特点有限元法首先应用于结构力学，随着计算机的发展渗透到计算物理、流体力学等各个数值模拟领域的广泛应用。
根据所采用的检验函数(虚位移函数)和插值函数，有限元法也可分为几种计算形式。 检验函数的选择有配置法、最小二乘法、伽辽金法，从计算单位网格的形状划分，有三角形网格、四边形网格、多边形网格，从插值函数的精度划分，分为线性插值函数和高阶插值函数等。 不同的组合也构成不同的有限元计算格式。 关于有限元法，其基本思路和解题步骤可以归纳如下
建立积分方程基于变分原理或方程余量与检验函数的正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式是有限元法的出发点。区域单元剖分根据区域形状和求解实际问题的物理特征，将区域划分为若干互连的不重叠单元。 区域划分是一个采用有限元法的预处理过程，需要给出计算单元与节点的进程号相互之间的关系、节点的位置坐标，同时列出问题的自然边界和本质边界的节点号及相应的边界值。确定单元基函数根据对单元中节点数和近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。 有限元法的基函数由单元选择，各单元具有规则的几何形状，因此在选择基函数时可以遵循一定的规律。单元分析:用单元基函数的线性组合公式逼近各单元中的求解函数； 再将近似函数代入积分方程，对单元域进行积分，得到待定系数，即包含单元中各节点函数值的代数方程组，称为单元有限元方程。总体合成:得到单元有限元方程后，按一定规律累积区域内所有单元有限元方程，形成整体有限元方程。边界条件的处理:一般边界条件有三种形式，可分为本质边界条件(Dirichlet边界条件)、自然边界条件(混合边界条件)、Cauchy边界条件)。 对于自然边界条件，一般用积分公式自动满足。 对于本质边界条件和混合边界条件，需要按照一定的规律修正满足整体有限元方程。解有限元方程:对于基于边界条件修正的整个有限元方程，可以用合适的代数方程求解器求解各节点的函数值。 三.有限体积法有限体积法(Finite Volume Methods )又称体积控制法。 其基本想法是，将计算区域分割为相互不重叠的一系列控制体，在各网格点的周围具有一个控制体； 将需要求解的微分方程按控制体积积分，得到一组离散方程。
该方法的未知量是格点上的函数值。 为了求出控制体积的积分，需要假设函数值在格点控制体边界的变化规律。 从积分区域选择方法来看，有限体积法属于有限元法中检验函数取分片常数插值的子区域法； 从未知量的近似方法来看，有限体积法是一种采用局部近似的离散方法。
有限体积法的基本思想容易理解，能够保持物理量在控制体上保存的性质。 也就是说，离散方程保持微分方程的物理量满足控制体守恒原理的物理意义。 这是有限体积法的吸引人的优点。 另外，在有限体积法中，插值函数仅用于控制体积积分的计算，因此微分方程式不同
项采取不同的插值函数。 三者各有所长有限差分方法直观，理论成熟，精度可选。但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使FDM应用于不规则区域，但是对区域的连续性和解的光滑性等要求较高。使用FDM的好处在于易于编程。
有限元方法适合处理复杂区域，精度可选，程序代码具有较强的通用性，适于大规模编程开发和计算。有限体积法适于流体计算，可以应用于非结构网格，适于并行。但是精度最高达到二阶。FVM的优势正逐渐显现出来，FVM在应力应变、高频电磁场方面的特殊的优点正在被人重视。
三者间的区别FVM和FDM在精度和守恒性方面的差别
FVM由积分方程离散，而FDM方法由微分方程直接离散，前者的精度不但取决于积分时的精度，还取决于对导数处理时的精度，一般总体最高具有二阶精度；后者的精度不涉及积分，而是借助Taylor展开利用差商代替导数，可以具有较高阶的精度。前者对于守恒型方程保持守恒性质，而后者不一定具有守恒性。
FVM和FEM的区别
有限元在复杂区域的适应性对有限体积是相同的，而有限容积的守恒性，物理概念明显的这些特点，有限元是没有的。但是有限体积方法在精度方面与有限元方法还有些差距。
FEM和FDM的区别
有限元方法在适应复杂求解区域和对解的光滑性要求上要优于有限差分法，但是在编程和实现上，有限差分方法在效率上占有一定的优势。