重要知识点

容斥问题是历年的常考题型，也是同学们的得分点。对这种主题给出多个条件(概念)，各条件(概念)之间存在交叉关系。

例如，参加：班物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都有20人。这里物理竞赛是第一条件，数学竞赛是第二条件，符合第一条件和第二条件的人数分别为30人和32人，同时两科都参加的有20人，这20人是参加物理竞赛参加数学竞赛的，物理竞赛和数学竞赛

从以上说明可以看出，在解题过程中，了解排斥问题的主题特征非常重要，同时在确定题型后，需要了解如何解决这类问题。容斥问题在试验中调查2种题型：的2个集合和3个集合。这两种题型分别有相应的公式和需要注意的问题。快来和小编一起解开这两种题型吧~

真题演练

【例1】(2019江苏省)市电视台对150名观众调查了前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况。其中108人看过甲频道，36人看过乙频道，23人既看过甲频道，也看过乙频道。调查对象的观众中前一天晚上没有看过两个频道的有：人

A. 17 B. 22 C. 29 D. 38

【答】c

【解析】

首先，本题考察了容斥原理中的二集容斥原理，用公式法解题。

在步骤2中，将调查对象观众中前一天晚上没有看过两个频道的人数设为x，根据2集合容积斥理公式，为108 36-23=150-x，x=29。因此，选择c选项。

【例2】) 2018年联合试验(某试验室在评价和中产品等级：两项评价不合格为次品，只有一项评价合格为中品，两项评价均合格为优质品。某批产品只有通过评价的产品数量是良品数量的2倍，通过评价的产品数量与通过评价的产品数量之比为6:5。如果此批次的废品率为10%，则此批次的良品率为：

A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%

【答】c

【解析】

第一步，本题考察容斥问题属于二集容斥类。

在步骤2中，如果代入良品数为2，则只有评价合格的设为4，评价合格的设为6。合格比为6:5，可以推测在评价中合格的为5，只有评价合格的为5-2=3，合格的为6 5-2=9，产品废品率为10%，由此可知合格率为90% 不合格品是1，总数是10。

第三步，该产品良品率为2/10=20%

因此，选择c选项。

【例3】(2020年新疆)一家公司有240名员工，其中订阅a期刊的有125人，订阅b期刊的有126人，订阅c期刊的有135人，订阅a、b期刊的有57人，a 订阅三种期刊的有31人，此外，17人订阅这三种期刊均有b、c期刊的有多少人？

A. 57 B. 64 C. 69 D. 78

【答】b

【解析】

第一步是在正题上考察容斥原理。

第二步，分别给出主题中满足两个条件的集合人数，应用三集合标型容斥原理公式求解问题。订阅b、c期刊的为x人，列式： 125 126 135-57-73-x 31=240-17，解x=64 (也可用尾数法求尾数)。

因此，选择b选项。

【例4】(2019年河北)某班参加学科竞赛40人，其中参加数学竞赛22人，参加物理竞赛27人，参加化学竞赛25人，只参加两科竞赛24人，3.3科

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

【答】c

【解析】

第一步，本题考察容斥问题，属于三集容斥类，用公式法解题。

第二步，假设参加三科比赛的是x人，根据三集非标准型容斥原则公式，求解40-0=22 27 25-24-2x，x=5。

因此，选择c选项。

以上是今天的应试技巧

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