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为了贯彻微积分的“任督二脉”，让我们愉快地寻求导数的后续。
在求解幂函数y=x^时，使用了以自然常数e为底的对数函数y=ln x的求解结果(ln x () )=1/x。 那么，寻求其指引的过程是怎样的呢？ 一起看看吧。
对数函数y=log(a ) x是[log(a ) a ) ] ) x h )-log(a ) ) x]不能继续合并和分解，所以难以直接导出。 但是，在前文中，求出了指数函数y=a^x的导数，(a^x ) )=a^x*ln a。 由于两者互为正反函数，基于此，导出这些导数之间的关系。
值得注意的是，对数函数y=log[a]x和指数函数y=a^x互为正反函数，由它们的函数定律阐述。 逆函数y=log(a ) x或f ) x ) log )在a ) x的情况下，为其正函数)或直接函数)表达式必须为x=a^y或g ) y )=a^y。
假设存在直接函数(或正函数) x=g ) y )，且其逆函数为y=f ) x )。
对于直接函数(或正函数) x=g ) y )的导数g () y ) x/y，逆函数y=f ) x )的导数f ) ) x )=y/x。 因此，有f'(x )=1/g ' ) y )。 也就是说，正反函数的导数互为倒数。
导数需要极限运算，上式的g'(y )和f ' ) x )省略了极限文字lim，但这不影响两者的互倒数关系。
首先，对直接函数g(y )=a ) y进行推导，得到： g ) ) y )=a^y*ln a。
那么逆函数f(x )=对数(a ) x的导数f ) ) x )=1/) a^y*lna )。 如果将x=a^y代入上式，则f'(x )=1/(x*lna )，表示为(log ) a ) x ) )=1/) x*lna )。 如果取a=e，则(ln x ) )=1/x。
常见的正反函数有三角函数和反三角函数。
让我们以正弦函数和正切函数为例，导出这些反函数的导数。
首先，给出正弦函数y=sin x的导数f'(x )=cos x，正切函数y=tg x的导数f ' ) x )=sec^2 x。 之后的文章会再次导出，请关注阅读。
1、设正弦函数x=sin y为直接函数，其反函数为反正弦函数y=arc sin x。 无视定义域的讨论，我们直接导出：
(arcsinx(=1/) siny ) )=1/cos y。 然后将余弦cos y转换为正弦sin y，再转换为x。
为什么这么说呢，因为cosy=(1-sin^2y ) ) )1-x^2)，所以) arc sin x ) )=) )1-x^2)。
2、将正切函数x=tg y作为直接函数，将其逆函数设为反正切函数y=arc tg x。 无视定义域的讨论，我们直接导出：
(弧矢x ) (=1/)缇)=1/秒^2y。 然后将正割sec y转换为相切tg y，再转换为x。
为什么这么说呢，因为sec^2 y=1 tg^2 y=1 x^2，所以(arc tg x ) )=1 x^2。
看到这里，有些伙伴可能会有点困惑，怎么玩y，玩x，闹什么样的。
对于逆函数y=f(x )，x是自变量，y是因子； 另一方面，对于直接函数(或正函数) x=g ) y )，y是自变量，x是因子。 但是，在计算过程中，自变量和因变量的身份不再重要，重要的是x和y之间的函数法则不变。
例如，使用上述等式(arc sin x )=1/cos y的情况下为f ) ) )而不是x ) ) ) ) x ) ) ) sinx ) )。 得到一个新的等式： y’=1/cos y。 等式中看不到自变量x了，但这样的式子也已经是微分方程，所以成立。
不管是原函数还是导数，我们都可以把它看成方程式。 式中，无论x、y、x '、y '、dy、dx如何，只要遵循正确的函数法则，都可以同时存在。
我们需要做的就是把它们变成我们需要的样子。