1.ARIMA模型
差分稳态序列经过差分变为稳态时间序列，之后的分析可以用ARMA模型进行，差分过程中加入ARMA模型分析差分稳态序列被称为ARIMA模型。
【1】首先观察序列的时序图，可以发现序列呈线性长期趋势，需要一阶差分。
图1:1952年至1988年中国农业实际国民收入指数的时序图
图2:1次差分后序列的时序图
图3 :一阶差分后序列的相关性分析
由图可知，序列的一阶自相关显着，序列平稳； q统计量p值小于0.05，不是白噪声； 同时，偏自相关拖尾、自相关一步步拖尾，建立ARIMA (0，1，1 )模型。 建立ARIMA (0，1，1 )模型的原因是自相关拖尾偏差，最初的数值为0，然后序列被一阶差分，所以中间的数值为1，另外自相关图为一阶截距，所以最后的数值为1。
【3】建模分析
图4:ARIMA(0、1、1 )型号
图5 :模型残差的相关性分析
由图4和图5分析可知，残差是白噪声，模型信息的提取充分； 由于模型参数显著，模型简化，所建立的ARIMA (0，1，1 )模型合格，模型的具体情况如下式。
(1-B ) s=5. 0156；1-0.7082 b ) )。
【4】预测分析
图6 :预测1989-2000年农业实际国民收入指数
图7:1989-2000年农业实际国民收入指数预测图
2 .季节模型
2.1简单的季节模型
1962.1——1975.12对每头奶牛月产奶量序列进行分析，经前期分析，经1阶12级差分，op呈平稳时间序列。
图1 :序列d(op、1、12 )的相关分析图
相关分析结果表明，自相关图呈短期相关，是平稳的时间序列； 因为q统计量的p值有时小于0.05，所以序列是稳态非白噪声序列。 另外，通过观测自相关和偏自相关图，识别方程是一阶自相关方程。
8032908ee44fb9aab00899975be8e?from=pc">图2：序列D(OP,1,12)的AR(1)模型
图3：模型残差的相关分析
分析可知残差为白噪声，因而模型提取信息充分；观测图2可知模型参数显著，因而AR（1）模型可以提取平稳序列D(OP,1,12)的信息。
模型的具体信息为
2.2乘积季节模型
当序列中长期趋势、季节效应、随机波动可以很容易分开，我们用简单季节模型进行分析；但更为常见的是序列的三个部分不能简单分开，而是相互关联，这时要用乘积季节模型。
对1948-1981年美国女性（大于20岁）月度失业率序列进行分析，首先观测序列的时序图。
图1：1948-1981年美国女性（大于20岁）月度失业率序列时序图
由时序图可知，序列既有长期趋势又有周期性，因此进行1阶12步差分。
图2：进行1阶12步差分
图3：D(S,1,12)的时序图
从时序图可以看出D(S,1,12)均值稳定，也没有明显的周期性，方差有界；通过相关分析，具体分析序列的平稳性如图4。图4中可以看出自相关两阶显著，但是12阶也是显著的，因此在趋势平稳中又包含了周期性因素。
图4：D(S,1,12)的相关分析
用ARMA模型拟合序列D(S,1,12)尝试如下：
图5：AR(1,12)模型拟合序列D(S,1,12)
图6：AR(1,12)模型拟合序列D(S,1,12)的残差相关图
可以看出模型残差非白噪声，模型提取信息不充分。
图7：MA(1,12)模型拟合序列D(S,1,12)
图8：MA(1,12)模型拟合序列D(S,1,12)残差相关图
可以看出模型残差也非白噪声，模型提取信息不充分。
这种情况下我们尝试乘积季节模型。
图9：ARMA(1,1)×(1,0,1)拟合序列D(S,1,12)
图10：ARMA(1,1)×(1,0,1)模型的参数
可以看出SAR(12)的参数并不显著，因此删除该项。
图11：ARMA(1,1)×(0，0,1)拟合序列D(S,1,12)
图12：ARMA(1,1)×(0,0,1)模型的参数
图13：乘积模型的残差相关图
可以看出乘积模型的残差为白噪声序列，该模型提取序列的信息充分；参数都显著，因此模型精简；模型的具体形式为：
