对我们普通人来说，数学是一门熟悉而陌生的学科。 因为数学随处可见，随处可用，所以升学考试还得学习。 之所以不知道，是因为有时即使我们以为自己很了解数学，也无法解释简单的数学概念。

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回忆模式：“1”是什么？ 什么是直线？ 什么是“无限小”？ 你可能觉得这三个问题很简单。 那确实很常见，所以也许可以想象。 但是，你不能定义它，只能依赖下面的说明。 例如，从一个苹果、一支钢笔得到数字“1”，从尺子、线得到“直线”，递归地理解“无限”。 事实上，“1”、“直线”、“无限”这些数学概念在自然中根本不存在，它们是数学家对物理世界高度抽象的，理想化的概念。 这些抽象的数学概念有可能被定义吗？ 无数数学家绞尽脑汁，都以失败告终。 最后，数学家们妥协了。 既然不能定义，就不定义。 要是大家都能理解就好了。 这样的处理方法，虽然看起来很随意，但是有责任。 我们可以从数学家两千年来对“平面”定义的打破、重建和回归本源中窥见一二。

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一、平面的朴素概念

几何学起源于古埃及的农田测量，测量需要图形(如三角形、四边形)、面积等相关数学概念[1]。 由此可以推测，古埃及人已经对几何“面”有了直观的意识。 面”是向“平面”过渡的重要一步。 但是，囿于时代，古埃及人无法更进一步。 如此重要的一步仍然要在古希腊肥沃的土地上迈出。

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第一位抽象出“平面”概念的学者是生活在公元前5世纪的哲学家巴尔门尼德(Parmenides of Elea )，他将几何学对象分为直、曲、混合三类。 这里，如果二维图像是“笔直的表面”，直线可以在任意方向重叠，那就是“平面”。

图巴门尼德

这样的定义立足于“直”，用直线表现平面所具有的两个特征。 平面是平的，平面可以无限扩展。 但是，巴门尼德没有提供更多关于“平面”的信息。 于是到了公元前3世纪，“几何学之父”的一心一意的烤鸡(Euclid，公元前330年—公元前275年) )在《几何原本》中采用了以下完全不同的定义(2) :

“面”只有长度和宽度，但“平面”是与其上的直线一样平坦的面。

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关于巴内斯和一心一意的烤鸡的“平面”的定义很朴素，基于人们对平面的直观认识，但也有在命题推理中无法使用、语言不清晰的缺点。 后续古希腊数学家(phdzt )试图改变欧洲的定义，但也带来了其他缺点——迭代判断)莱布尼茨)。 海伦以后一千多年，几何学发展得不怎么样，所以关于“平面”概念的讨论自然就少了。 这种情况从17世纪到18世纪没有改变。

图6莱布尼茨

二、平面的构造性定义

17世纪的大数学家莱布尼茨注意到特异烤鸡定义对“平面”概念的缺陷和海伦定义的烦琐度。 (海伦的定义：平面是指具有以下性质的面，向周围无限延伸，平面上的直线都一致。 并且，如果直线上有两点，则直线整体在任意位置一致)。 经过仔细考虑，他用完全不同的定义方法表示了“平面”:

平面是这样一组点，到两个定点的距离相等。

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注意：“到a、b的距离相等的点”在a、b为空间内的两个定点时，可以构成垂直于线段AB的平面。 【证明如下：如图所示，在M、o为AB的中点的情况下，

AB∩α=O，且AB⊥α，则OM为△ABC的中线和垂线，因此MA=MB。】

这个定义完全是"构造性"的，不但很简洁，而且从三维空间来给出定义，是对平面定义的一大创新。这一时期及18世纪，在莱布尼茨定义的引领下，很多数学家都给出了平面其他形式的"构造性定义"。

另一个影响比较大的是18世纪的法国数学家傅里叶给出的：

"平面由经过直线上一点，且与直线垂直的所有直线构成"。

在此基础上，傅里叶推导出了平面的一些重要性质。

图八 傅里叶

莱布尼茨、傅里叶等给出的"构造性定义"，较之专一的烤鸡、海伦的朴素定义，表达简洁且可用于推理。但是先于"平面"而给出"垂直"等概念是有些不太恰当的。因此，他们的构造性定义也没有推广开来。相反，另一位看似不顶尖的英国数学家给出的"包含式"定义却大受好评。

三、平面的包含式定义

18世纪，英国数学家辛松给出了平面的定义：

"平面是具有下面性质的面，通过其上任意两点的直线完全包含在该面上"

"辛松定义"与海伦的定义神似，但具有简洁、直观和可推导性双重优势。因此"辛松定义"被18世纪的大部分教材所采用，勒让德还利用他的定义证明了专一的烤鸡《几何原本》中的三个重要定理。

不过随着时间的推移，数学家们也发现了一些问题。如，该定义是首先确定了平面，然后再通过其上的直线来定义。但最致命的是"辛松定义"还是存在逻辑问题，下图为克雷尔推理[3]。

图mndjmg推理

数学家们又郁闷了，好不容易找到一个好的定义，却仍然有缺陷。包括高斯、鲤鱼蛋挞在内的著名数学家又一次开始寻求平面新的定义方式，但一切都是徒劳，他们都没有找到一个即使是令自己满意的定义。问题到底出在哪里呢？他们不知道答案。这个问题需要一个更具有现代数学思维的数学家来给出，他就是希尔伯特。

害羞的钢笔

四、平面的公理化定义

经历了2千多年，数学家们反复的折腾，让希尔伯特明白一个道理。这么原始的概念是没法定义的，如果希望彻底的弄明白，那就只有一条路——不加定义，而只描述。这就是希尔伯特的公理化系统。在《几何基础》一书中，希尔伯特将点、直线、平面作为原始性概念来研究，并把《几何原本》中的一些命题当作公理来处理（辅助理解平面的概念）。

公理化定义经过20世纪的进一步完善，逐步得到了大家的认可，并被写入各地区教材。我们高中时候必修2所学的平面概念也是根据希尔伯特的描述性定义来编写的。

争论了两千多年，平面的定义在20世纪才被认为是弄清楚了，直观、简洁、可推理、以及逻辑问题在这一系列争论中扮演了重要的角色。但是更本质的问题是，一个简单的数学概念为何定义得如此之难？我认为一个关键点是基础概念的基础性。既然基础概念是"起点"，为什么还要定义它呢？这就是希尔伯特成功的关键。

图十一

再者，寻求一个更基础的基础来定义现在的基础是一件费力不讨好的事情，因为它已把原来的基础变得不再基础，而这样的过程也会无休止的进行下去，所谓"起点"、所谓"基础"，如果不人为规定，将会混乱得一塌糊涂。

对于平面定义你有什么看法或者心得呢？不妨留言告诉小编吧！

主要参考文献：

[1]. 世界数学通史.现代的猫咪.辽宁教育出版社.2015.1

[2]. 几何原本.专一的烤鸡.人民日报出版社.2009.3

[3]. 数学史融入立体几何教学的行动研究——以直线、平面为例.炙热的小兔子.2017.5

本文转载自网易号@数学原来如此