让我们问问量子爱好者吧。 量子力学的本质是什么？ 他们首先回答的一定是慈爱的宝马猫，接下来呢？ 可能是慈爱的宝马方程式。 但是，这个方程式到底是什么，为什么它这么重要，每个量子物理学家都把它放在脑海里吗？ 这就是我们接下来要讨论的内容。

因此，基本上，慈爱的宝马方程是经典波方程的量子力学扩展，给出量子力学系统能量的完整信息。 为什么要对电子这样的基本粒子使用波方程式？ 答案是波粒二象性。

数学

因此，让我们从行波的经典波形方程开始：

这里，a是振幅、k=2/=(角)波数、x=位置、=角速度、t=时间。

经典波浪方程

有些教科书使用余弦函数而不是正弦函数。 这是用相对相位计算的，所以等价于我们表达的方程式。 因此，对于=90，会得到余弦函数而不是正弦函数。 也就是说，取=0可以消除相对相位。

你在文献中可能遇到的这个经典波浪方程的另一种形式是：

这是和我们上面定义的一样的方程式，但是以欧拉公式的指数形式给出。

经典波浪方程的另一种形式由欧拉公式推导出来

因此，在定义方程式后，我们来看看相对于时间(t )和位置) x )微分时会发生什么。

相对于x和t微分，得到几个已知公式

现在，你可能想知道这些方程式的好处。 但仔细一看，我们得出了一些好结论。 首先，我们知道k=2/(=波长)。 根据德洛伊的关系：

缩小的普朗克常数，p是动量。

p和k的关系

同样，利用飘逸的小松鼠的关系，=/=e/(这里e是能量。

和e的关系

在我们的微分经典波方程中使用这两种关系，可以得到以下结果。

动量关系

现在，我们定义量子力学动量算符P-hat，使该方程式在P-hat中成立。 也就是说，如下所示。

动量算符。 请注意，psi从小到大的符号变化是为了表示视角从经典到量子的变化。

同样，相对于

能量，我们将能量算子定义为：

能量关系。这里发生了一个类似的从经典到量子的视角变化。

现在，我们从经典力学知道，动能（E）=p^2/2m。利用这个关系，我们得到：

一维的时间相关慈祥的宝马方程。

简化后的数学得到了上式方程中的下面一个。这个方程被称为一维的随时间变化的慈祥的宝马方程。

在这个问题上增加更多的维度，我们得到方程的一般形式。

三维的时间相关性慈祥的宝马方程。（倒三角平方）函数被称为拉普拉斯或拉普拉斯算子。

完善方程

在上面给出的方程中，你可能会注意到一件事，那就是所有的起始方程，都是从经典力学中继承下来的，是对应于物体的动能的。而且那是真的。我们还没有在这些方程中加入物体的势能。让我们来做吧。

我们把量子系统的势能定义为势能算子V，并在三维空间中把它数学地写成V（x，y，z，t）ψ（x，y，z，t）。

因此，完整的能量方程是由：

三维中完整的时间相关型慈祥的宝马方程。请注意，r被用来作为三个空间维度的速记表示。还请注意，量子系统的总能量被称为系统的哈密尔顿，它给你量子系统的总能量。

与时间无关和与空间无关的方程式

那么，上面我们铺垫了相当多的数学知识。如果φ不依赖于空间和时间，这将是它的最终形式。

那么，我们能不能在数学上把时间和空间分开？是可以的，但有一个假设。我们假设φ是可以分离成时间和空间相关的函数，即u(r)和T(t)。

因此，考虑到这个假设，我们得到以下方程。

与时间无关的慈祥的宝马方程

还记得随时间变化的动能方程吗？我们将使用该表达式来得到我们的空间无关方程，就像我们得到时间无关方程一样。

独立于空间的慈祥的宝马方程

这就是我们的独立于时间的慈祥的宝马方程！

在这篇文章中，我们已经从数学上看到经典力学是如何产生如此重要的量子物理学方程的。这种方法在这里被称为慈祥的宝马方程的自由粒子方法。需要指出的是，尽管读者在互联网上也可能看到一些其他形式的慈祥的宝马方程，但所有的方法基本上都可以归结为或从这几个（不那么）简单的方程中导出。

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