函数的连续性
从实数的性质来看，我们已经知道它具有连续性，即连续覆盖整个数轴。在这里，我们需要进一步实现函数的连续性，也就是讨论函数的连续性。
1)函数的点连续定义
如果函数f(x)是在点x0的某个域中定义的，并且lim[xx0] f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处是连续的，x0点称为函数f(x)的连续点。
很明显，所谓的函数点连续性，是指该点的函数值等于该点的函数极限。如果这个关系只适用于函数的左(右)极限(即lim[xx0-]f(x)=f(x0)(lim[xx0]f(x)=f(x0))，则称之为左(右)连续性。在讨论闭区间的端点连续性和点的不连续性时，左右连续性起着非常重要的作用。
如果函数f(x)在区间的每一点都是连续的，那么就说函数在区间x的每一点都是连续的，注意这里所谓区间的(点)连续性实际上只是这个区间的每一点的连续性。如果区间x包含端点，其端点的连续性将由其左或右连续性定义。
2)函数区间连续性(一致连续性)的定义
如果函数f(x)在区间x中定义，且 0，，X1 x，X2 x，| X1-X2 | (| F (X1)-F (X2) | )，则称函数F (X)在区间x中一致连续
显然，一致连续性是函数在整个区间内的连续性，而不是个别点的连续性。
3)不连续点的类型(不连续点)
不连续点，虽然它们的函数都是不连续的，但有不同类型的不连续，可以简单地分类如下：
1)第一种不连续点
函数的左右极限存在于断点处，但方程lim[xx0-]f(x)=lim[xx0]f(x)=f(x0)无效。如果lim[xx0-]f(x)=lim[xx0]f(x)f(x)，那么这里的断点称为不可中断点，即通过重新定义函数f(x0)在x0点上可以使其连续。如果lim[xx0-] f(x) lim[xx0] f(x)，这里的断点称为跳转不连续。
2)第二类不连续点
函数在不连续点的任何单边极限都不存在，属于这一类。如果单侧极限趋于无穷大，则称为无限不连续点。如果单侧极限是“振荡的”和不收敛的，则称为振荡间断。
4)连续函数、其反函数和复合函数的运算
1)四项操作
如果lim[xx0] f(x)=f(x0)和lim[xx0] g(x)=g(x0)，即f(x)和g(x)在x0点是连续的，那么
a)lim[xx0](a f(x)b g(x))=a f(x0)b f(x0)
也就是说，f(x)和g(x)的线性组合在x0点也是连续的。
b)lim[xx0](f(x)g(x0))=f(x0)g(x0)
即f(x)g(x)在x0点也是连续的。
c)lim[xx0](f(x)/g(x))=f(x0)/g(x0)(g(x0)0)
也就是说，如果g(x0)0，那么f(x)/g(x)在x0点也是连续的。
2)反函数
如果函数f (x)在它的域Df中是严格单调连续的，那么有一个反函数f(x)也是连续的。
3)复合功能
如果函数u=g(x)在点x0是连续的，让g(x0)=u0。如果函数y=f(u)在点u0是连续的，则复合函数y=f(g(x))在点x0是连续的。
到目前为止，可以判断所有初等函数在其定义域内都是连续的。
5)函数的点连续性与一致连续区间的关系。
康托定理：
如果函数f(x)在闭区间[a，b]中是(点)连续的，那么它在这个闭区间中是一致连续的。
证书略。
6)闭区间上连续(即一致连续)函数的一些性质(简单列举)
1)有一个定义。
2)最大值定理
3)零点定理
4)中间值定理