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https://www.zhihu.com/question/19991026/answer/26857622
超级数学建模编辑。
让我们从同性恋开始.
从数学的角度，提供一个有趣的解释。理解傅里叶变换的关键是理解基础，理解基础可以让你重新认识世界。
1.什么是基地？
假设一个科研院所有四个所长(一个所长，三个副所长)，四个所长各司其职，把整个科研院所管理得井井有条。
缺少了这四个优点中的一个，单位的工作就无法顺利开展，多一个碍事，事半功倍。他们四个人共同组成了科学研究所的“基地”。
一个单位的基础不一定是唯一的，四个人的工作可以通过调换岗位来进行。如果一个人调另一个人换，机组可以正常运行，但数字4不能变(数学语言：空间维度固定)。
总结：一组基是能够描述和表达某种事物的最少的几个元素。
2.基地只有一种形式吗？
我们把科研院所的日常事务变成感情，把四大强项变成语言词典重新叙述。
假设你爱上了一个人，需要向她表达你的感情。这时，我们需要一套表达感情的工具————语言。如果你用中文，你可以说‘我爱你’；如果你用英语，你可以说‘我爱你’。
所有的中文单词组成一个集合，所有的英文单词也组成一个集合。他们可以描述感情、感受、事物和知识。它们是两种不同的描述系统，各有其依据。
总结：描述事物有很多依据。
3.如何构造一套底座？
汉语词汇量大，重复词多，比如我爱你，可以重新表述为‘我爱你’‘我爱侬’‘我想和你睡觉’等等。
我们在汉语词汇中只保留了一个约定的词(数学语言：使线性变得无关紧要)，留有少量词汇的词典是汉语的一个基础，其中的每个词都称为一个基础函数。
它的特点是：所有能用汉语描述的思想，都可以通过精心编排(加权相加)从这本小词汇书中选出一些词(基函数)来描述，而且只有一种描述方法(数学语言：如果基是固定的，就确定相应的系数/坐标)，因为我们去掉了所有多余的、近似的词，所以不存在一个基下有两种不同表示的东西。
总结：一套基础里面有很多元素，足以描述事物。只需挑选一些你需要的，并以某种方式组合起来。一组基础中的元素如此之少，以至于这种描述事物的方法是独特的。
4.不同碱基之间有什么联系？
给定两种不同的语言和两个不同语言的小字典(两组基)，我们都可以用一种独特的方式表达同一个思想(函数、点)，这两种表示可以相互转换(数学语言：坐标变换)。‘我爱你’和‘我爱你’可以互相转化。
总结：给定一个基，我们可以用这组基来表达事物，也可以用它来翻译其他基描述的事物。不同基础下的表示可以相互转换。
5.什么是傅里叶变换？
你还记得三角函数sin和cos吗，它们是波形的函数？一个波的宽度可以不同，要么像跳绳一样宽，要么像电炉丝一样窄(数学语言：频率不同)。
这些三角函数放在一起组成一个字典，恰好是一组连续函数的基：任何连续函数都可以唯一地表示为一组叠加的三角函数。
然而，每个三角函数的分量都是轻而重的。相加时，有的需要高一些，有的需要低一些，有的根本不用(数学语言：不同的加权系数)。
有哪些三角函数，每个三角函数的组成部分是什么？找到它们的过程叫做傅里叶变换。
几个例子：
在下面两张图中，左上角是某个函数(信号)的外观，等于1000个振荡三角函数的相加。中间一列是1000个三角函数从下往上第0个、第1个、第2个、第3个相加，中间6个、第30个、第160个、第800个相加。请注意，几个三角函数组合在一起将不再像三角函数。
在右栏，这些三角函数从下往上加在一起，有1000个和原函数完全一样，但是前40个三角函数已经和原函数非常相似了。
从这些例子中，我们可以看到，一系列冲击的三角函数根据傅立叶系数(权重)进行缩放，然后相加，约为40。
个三角函数加到一起，就和原来的函数长得差不多了，无论原来的那个函数长的有多么奇特。因此我们说：蚂蚁也能撼大树，三角函数多了加到一起，多奇怪的连续函数我长的都能和你是一个样。
总结：给你一个函数，找到它的傅里叶变换，就是找到一堆系数，每一个系数对应一个不同频率的三角函数，这些三角函数分别按各自的系数改变振幅(数学语言：确定坐标)，然后叠加在一起，恰好就与原来那个函数相等。
因此，四个处长是一组基，能维持一个单位的运转，处理各种问题；
一套简化的汉语词典是一组基，什么样的情感它都能找到唯一的表达语句；
一堆三角函数是一组基，什么样的连续函数都可以用一大堆三角函数叠加获得，找到这种表示的过程叫做傅里叶变换。
6. 傅里叶变换有什么用？
摆弄一系列三角函数，让这个多点那个少点，有一个酷炫的名字，叫“频域处理”。
你去了美国，不知道白宫怎么走，你问翻译：白宫怎么走？
翻译跑到街上问美国人：Where is the White House? 这叫傅里叶变换。
美国路人说："go straight and turn right"。这叫频域处理。
翻译听完给你说：直走，右拐就到了。这叫逆傅里叶变换。
总结：傅里叶变换的作用，就是把一个函数或者信号在三角函数基下转化为一堆系数，摆弄这些系数、实现一定功能有时比直接摆弄原信号方便，最后再做个逆傅里叶变换，信号就得到了某种处理。
7. 傅里叶变换与压缩、简化表示
从第5小节我们知道了基变换的一个用处：压缩信号。
原始信号需要用1000个点来表示，但是其实只需要40个三角函数系数就可以表示出大概。
大家天天都会遇到的JPG图片就是干这个事的，一张800*600的彩色照片，如果保存成非压缩的BMP图像格式，需要占据1.4M存储空间，如果保存成JPG格式，大概50K就够了。
JPG能压缩得这么厉害，诀窍就在于它用了一组特别的基（小波基），使用特别少的基函数就可以把原始图像表示得八九不离十，在这里频域处理就是把绝大多数基函数前面的系数直接置0。
为什么能这么干呢？因为小波基有很强的表达能力，我们总能选取极少的几个小波基函数就能拼出任意一个给定的图像的大概，然后即使抛弃剩下那些大量边角料，也不太会对视觉效果造成什么影响。
说到这里你肯定一头雾水，咱们再来做个类比来说说基的压缩能力。想象这样一个故事：
女主角出生在孤儿院，和男主角相遇但是被抛弃，生下一个女儿，她后来做了个变性手术，穿越回到过去和还是女儿身的自己啪啪啪，带着女儿再次穿越到自己被收养时的孤儿院把婴儿抛弃在那。
如果你缺乏语言能力，比如你是一条狗，你怎样让另一条狗理解孤儿院、男、女、啪啪啪、抛弃、爱情这些真实世界中极度复杂的概念？
你能做的最好的重述就是雇一男一女和一个时光机，把故事演一遍，对方还不一定能懂。
语言能够在短短的一段话里就描述出这一个复杂的故事，因为它抛弃了大量细节，只保留最重要的信息：
如果说真实世界每一个对象（物体、故事、情感）是一个函数，那么语言就是一组新的基，在这组基下，每一个基函数（词汇）都具有干净的火车的描述能力，复杂的对象可以用聊聊几笔进行描述、压缩、传递，让人类能够高效地交流，快速地学习。
一个海岸有多少粒沙子？多少滴海水？一幅800*600像素的图像就能捕获你在海边嬉戏的靓影，只用了48万个基函数，如果你用JPG格式存储，调动的基函数还会更少。
普通非压缩位图数字图像的基函数长的都一样：在一颗像素是白色(1)，在其他所有像素都是黑色(0)——一个基就是一根孤零零的矩形棍子，其对应的系数就是对应像素的颜色值，真彩色的系数有约1600万种。
傅里叶变换和这幅图中的变换非常类似，只不过基函数不是一颗像素，而是震荡的三角函数。
所有三角函数Asin(ax+b)也可以由一个三角函数sin(x)通过改变频率a，相位b和振幅A来获得，这种情况很有意思：一组基中所有的基函数都是由一个基函数进过简单地平移、拉伸或改变振幅获得。
它的实质是另一种意义上的压缩：我们用一个基函数（数学语言：母函数）通过简单形变来生成其他基函数，再用它们一起表示更复杂的元素。
我们不需要拉来一头牛一只羊来表示这里有一头牛一只羊，我们只需要用许多个基本元素，每一个都差不多，就能近似表示复杂的场景。
这一思想的一个有趣的应用是游戏Minecraft，在这里基函数是一些等大立方体块，把它们拼在一起则组成了复杂世界的近似：
这个图和上面用40个三角函数近似一维信号、一堆像素近似二维物体是完全类似的，这里是用立方体近似三维世界。
同样是对真实世界的近似描述，我们可以用一堆抽象词汇、用像素、用立方体块，也可以用三角函数形状的“块”，使用彼此近似但略微不同的基函数，我们就可以对无比复杂的真实世界的对象进行压缩、近似。
三角函数基唯一的奇怪之处在于它是震荡的，看着不萌。
压缩的缺点是无法反向恢复，可以从一幅图像变换到另一幅，但是不能从一幅图像恢复真实世界。
但是没人想捧着真实世界，人们需要的恰恰是对真实世界的高度凝练地表示。
8. 频域处理能干啥？
如果你不懂英文，一个ldjd对你说：Hi. I love you. Are you free tonight?
你会回复她：姑娘你能不能不要说鸟语？滚回美帝玩泥巴吧。
如果你懂英语，就会发现姑娘说的东西其实是有某种意义的，可以进一步处理。
在某些领域，傅里叶变换后的系数非常有用，我们前面已经举了傅里叶变换能够压缩数据的例子，下面再举几个其他例子。
为了显示方便，举一个二维的例子，见下图：
原始图像中含有噪声，因为噪声往往是细小的雪花点，属于图像高频分量，因此我们把图像首先做傅里叶变换，然后把变换后的三角函数前的系数中属于高频的部分全部去掉（置0），然后再做逆傅里叶变换，我们发现图像中的细节（噪声点）减少了。这就是频率域去噪的基本原理。
在音频处理中，不同人对于同一个音节发出的声音，其傅里叶变换后的系数是不同的，并且可能每个人的模式是稳定的，就像指纹一样，那么傅里叶变换后的系数就可以来识别、jydjm个人的声音，把某个人的发音中的某些系数进行调整，就变成了另一个人发音；所有人对于不同词汇的发音的傅里叶变换系数也可能具有某些固定模式，利用这些模式可以发展声音的理解技术，比如Siri。
现在政府监督电话敏感词，再也不是找接线员一个个听了，而是用电脑自动监听，如果发现某人的通讯中敏感词频率较高，再派专人处理。
9. 还有哪些基我们可能听过，但是不曾认识到？
多项式基：多项式多了，啥稀奇古怪的函数都能表示，不信你试试苹果烤鸡展开式有多好用就知道了。
小波基：hpdlm（三角函数）的改进，可以进行局部控制。
B-样条基：多项式基的改进，可以进行局部控制，画家画画用的就是这东西。
一幅800*600的图像，我们既可以认为它是一幅抽象的图像，也可以认为它是一个由800*600个基函数（一个基函数是某一颗像素值为1，其他所有像素值为0的图像）进行加权相加获得的一个坐标表示。