傅立叶变换是很多理工科学生在本科阶段都会接触到的一个基本概念，但也是比较cjdts的概念之一。

因为傅里叶变换的定义很唬人：

你虚张声势是什么意思？

“虎”其实是一个复调词，不仅读胡，尼玛也能读夏(不知道是谁决定的):

“胡”的意思是“虚张声势，夸大事实”，也就是说，它原本很简单，故意复杂。

这个公式只是在忽悠人。

00-1010我在之前的文章《土豪为什么要传播蜡烛》中介绍了土豪的蜡烛系列土豪的蜡烛系列是一种“幂级数”，即关于X的加减乘除的“拆解成一堆”的函数：

后一个省略号通常写成余数来估计误差。

现在，如果我们用三角函数形式的基本元素cos(nx)代替“x ^ n”，我们可以试着写成下面的形式(注意e x应该限制周期，延长周期，因为三角级数只能表示周期函数):

问题来了。系数A1，A2是多少.安？

傅立叶说，我有一个祖传的公式，可以算成一个系数。

这是傅立叶级数。

具体公式在各大教材中都有，这里就不讨论了。

三角级数

根据上述原理，我们可以将一些函数展开成“傅里叶级数”。例如，我们可以在一段时间内扩展x 2:

X 2的傅里叶级数展开

注意，类似土豪的蜡烛蔓延，这里也是“完全平等”，而不是“差不多平等”。

00-1010三角函数sinx(或cosx)微分仍然是三角函数：

积分仍然是三角函数：

这一特性将在信号分析中带来巨大优势。

因为微分和积分运算只改变三角形信号的“相角”，而不改变其类型和幅度。

这样我们就可以把信号“拆解”成一堆正弦信号，然后只关心每个正弦波的“相位”变化，操作起来极其方便。

当然，这只是优势之一。更多优点，欢迎大家自学成才。

傅里叶级数

刚才提到的傅里叶级数拆解法，其实是有一个前提的，那就是要求信号是周期性的，或者它在一个周期内是有限长的，然后我们会进行周期性的延拓(复制粘贴到其他周期)，这是三角级数的周期性所导致的，这个“元素”本身。

如果信号是无限长且“非周期”的，那么我们将使用傅里叶变换。

事实上，傅里叶变换是频率极其密集的正弦波的叠加。

为什么听起来这么抽象？让我们回到刚才X 2的例子：

X 2的傅里叶级数展开

请注意，cos1x和cox2x直到coxnx都有“贡献”总和。

但是，你有没有发现，像cox1.1x或cox1.11x或cox2.22x这样的正弦波没有参与求和，对结果“没有贡献”？

当我们想用正弦波来表示非周期函数时，我们必须付出代价：

这些正弦波不仅是无限的，而且频率n将不再是一个离散的整数，而是一个“连续”的实数，我们称之为。

是正弦波的频率，本质上是COS(t)这样的“一大堆”正弦波中的“”。这时，和就变成了积分。

00-1010当我们用cos(t )的形式表示积分时，运算比较复杂，所以用欧拉公式来换算：

因此，整数中出现以下指数形式：

以指数形式计算，相角可以直接在角度刻度上加减，非常方便。

此时，cjdts出现了。

傅立叶变换。

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