实对称矩阵是常见矩阵，与实二次型和实内积空间上的自伴算子密切相关。 所有实对称矩阵$A$都与对角矩阵正交相似，存在$P'AP=mathrm{diag，}lambda_1}，这是实对称矩阵的重要性质，通常在内积空间理论框架中得到证明。 但是，实对称矩阵可以对角化的性质可以在引入矩阵的可对角化定义和判据后直接证明，也可以用Jordan标准型理论证明。 下面给出实对称矩阵可对角化的一些证明，首先证明两个简单引理。
引理 1实对称序列的特征值均为实数。
如果将3358www.Sina.com/$A$设置为$n$阶实对称数组，则$lambda_0inmathbb{C}$是$A$之一的唯一值，$alpha=乘以overline{alpha}'$，$overline {alpha } ' aalphalambda _0 (alpha ) ) alpha=) sum _ { 因此，$lambda _0=overline {alpha } ' aalpha/ overline {alpha }alpha $也是实数。 $balpha$
假设3358www.Sina.com/$a$为$n$阶实对称序列，则$r(a ) ) r (a ^2)=r (a ^3)=)=cdots$。
证明复旦高代教材复习题第三第四十一题开始$r(a )=r(a )=r(a )=r(a ) a^2) $，=r(a^{2^m} ) $，$ )
可以在引理 2引理1中设置的$A$的所有实际固有值为$lambda__11、lambda_2、cdots、lambda_n$，以及固有值$lambda。 leq n ) $，即$lambda_1$的代数重为$ m begin { p matrix } BC dend { p matrix } $，其中$B$的主对角元为$lambda 作为lambda的lambda_1I_n(p=(begin(pmatrix ) B- (lambda _ 1i _ MC (0d-(lambda _ 1i _ { n-m } ) end ) pmatrix 在lambda_1I_m ) ^m=0$下，$$p^{-1}(a-(lambda_1I_n ) ^MP=(begin ) pmatrix ) b-(lambda_1I ) end{pmatrix}.$$注意到$(d-(lambda_1I_{n-m} )是一个主对角元完全不为零的上三角数组，从非异数组的引理2可以看出$lambda
假设3358www.Sina.com/$a$为$n$阶实对称数组，则$mathrm{Ker，}Acapmathrm{Im，}A=0$且$math
rm{Ker,}A=mathrm{Ker,}A^2=mathrm{Ker,}A^3=cdots$.证明 由引理 2 以及维数公式即得. $Box$
证法二 (全空间等于特征子空间的直和) 任取 $A$ 的实特征值 $lambda_0$, 由引理 3 可知, $mathrm{Ker,}(A-lambda_0I_n)=mathrm{Ker,}(A-lambda_0I_n)^2=cdots$, 再由高代白皮书中例 7.13 的证法一完全相同的讨论即得. $Box$
证法三 (极小多项式无重根) 任取 $A$ 的实特征值 $lambda_0$, 由引理 3 可知, $mathrm{Ker,}(A-lambda_0I_n)=mathrm{Ker,}(A-lambda_0I_n)^2=cdots$, 再由高代白皮书中例 7.13 的证法二完全相同的讨论即得. $Box$
证法四 (Jordan 标准型之一) 任取 $A$ 的实特征值 $lambda_0$, 由引理 3 可知, $mathrm{Ker,}(A-lambda_0I_n)capmathrm{Im,}(A-lambda_0I_n)=0$, 再由高代白皮书中例 7.13 的证法三完全相同的讨论即得. $Box$
证法五 (Jordan 标准型之二) 任取 $A$ 的实特征值 $lambda_0$, 由引理 2 可知, $r(A-lambda_0I_n)=r((A-lambda_0)^2)$, 再由高代白皮书中例 7.14 的证法二完全相同的讨论即得. $Box$
证法六 (Jordan 标准型之三) 设 $P$ 为非异实矩阵, 使得 $$P^{-1}AP=J=mathrm{diag,}{J_{r_1}(lambda_1),cdots,J_{r_k}(lambda_k)}.$$ 用反证法, 若 $A$ 不可对角化, 则不妨设 $r_1>1$. 设 $P'P=(b_{ij})$, 则 $b_{12}=b_{21}$ 并且 $b_{11}$ 是 $P$ 的第一列元素的平方和, 由 $P$ 的非异性可知 $b_{11}>0$. 注意到 $P'AP=P'PJ$ 为对称阵, 但 $P'PJ$ 的第 $(1,2)$ 元为 $b_{11}+lambda_1b_{12}$, 第 $(2,1)$ 元为 $lambda_1b_{21}$, 这两者不相等, 矛盾. $Box$
证法七 (内积空间理论) 参考复旦高代教材的定理 9.5.2 和推论 9.5.2. $Box$
事实上, 我们也可以这样来看. 由上面的讨论可知, 对任一 $n$ 阶实对称阵 $A$, 全空间 $mathbb{R}^n$ 等于 $A$ 的所有特征子空间的直和. 容易证明: 在 $mathbb{R}^n$ 的标准内积下, $A$ 的属于不同特征值的特征向量必正交, 属于同一特征值的特征向量可以利用 Gram-Schmidt 正交化方法化成两两正交的单位特征向量. 因此我们可以找到 $A$ 的 $n$ 个两两正交的单位特征向量, 将这些向量拼成矩阵 $P$, 则 $P$ 是一个 $n$ 阶正交阵, 使得 $$P'AP=mathrm{diag,}{lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n}.$$ 这就是 $A$ 的正交相似标准型, 它对于深入探讨实对称阵的正定性和半正定性有着重要的作用.
注 给出上述各种证法的同学有: 15级drdhh（证法五）、sydbb（证法五），16级kadxz（证法一）、axdjb（类似证法一）、机灵的往事（证法二）、ffdsw（证法二）、jqdy（证法二）、cdl（证法三）、怕孤独的乌龟（类似证法六）等.
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