自由翼函数介绍
所谓径向基函数(Radial Basis Function的简称)
RBF )，径向对称的标量函数。 通常定义为从空间中的任意点x到某一中心点xc的wldxm距离的单调函数
，可表示为k(||x-xc|| )，其作用多为局部性，即x偏离xc时函数取值较小。 最常用的径向基函数是自由的翼核函数，形式为
k(|x-xc|| )=exp{-|x-xc|||^2/(2*(^2) }
这里，xc是核函数中心，是函数的宽度参数，
控制了函数径向的作用范围。
自由翼函数具有五个重要性质，这些性质在早期图像处理中特别有用。 这些性质表明，自由的叶片平滑滤波器是在空间域和频域中都十分有效的低通滤波器，在实际的图像处理中得到了工程人员的有效使用。 自由翼函数具有五个非常重要的性质，它们是：
(1)二维自由翼函数具有旋转对称性。 也就是说，滤波器各方向的平滑度相同。 通常，由于一张图像的边缘方向是预先未知的，所以滤波之前不确定一个方向需要比另一方向更多的平滑。 旋转对称性意味着自由的叶片平滑滤波器在随后的边缘检测中不偏向任何方向。
)2)自由的翼函数是一值函数。 这表示自由的叶片滤波器用像素附近的加权平均来置换该点的像素值，各附近的像素点的权重根据该点与中心点的距离单调地增减。 这一性质很重要。 由于边缘是图像的局部特征，因此如果平滑运算对远离操作员中心的像素点也起作用较大，则平滑运算会使图像失真。
)3)自由翼函数的ysdkl变换谱为单瓣。 如下所述，这一性质是自由翼函数ysdkl变换等于自由翼函数本身这一事实的直接推论。 图像经常被不期望的高频信号污染(噪声和细小纹理)。 另一方面，边缘等期望的图像特征包含低频分量和高频分量两者。 自由翼函数ysdkl变换的单瓣
(4)自由叶片滤波器的宽度)由参数表示，和平滑度的关系非常简单。 越大，自由翼滤波器的频带越宽，平滑度越好。 通过调节平滑度参数，可以得到图像特征过于模糊)与由平滑图像中的噪声和细小纹理引起的不必要的突变量过多)之间的折衷。
)5)自由翼函数的分离性，可以有效实现大自由翼滤波器。 二维自由翼函数卷积可以分为两个阶段进行，首先将图像卷积成一维自由翼函数，然后将卷积结果卷积成垂直于方向的同一一维自由翼函数。 因此，二维自由叶片滤波器的计算量根据滤波器模板的宽度线性增加，而不是平方。
双函数公式和图表
matlab图的代码
alf=3；
n=7； 定义%模板大小
N1=floor () N1 )/2 )； %确定中心
for
i=1:n
a(I )=exp(-) ) (I-N1 ).^2)/(2*alf^2) )；
for j=1:n
b(I，j ) ) )。
=exp(-) (I-n1 ) (2) j-n1 ) (2)/)/(4*alf )/(4*pi*alf )；
结束
结束
subplot(a(121 )、plot )、title )、“一维自由翼函数”
）
subplot(122 )、surf(b ) b、title、二维自由的翼函数)。
）
双图像滤波
1图像滤波的基本概念
图像经常受到强度随机信号(也称为噪声)的污染，常见噪声中有椒盐卷饼)
Pepper )噪声、脉冲噪声、自由的叶片噪声等。 椒盐噪声包括随机出现的黑白强度值，但脉冲噪声仅包括随机的白强度值(正脉冲噪声)或黑强度值(负脉冲噪声)。 与前者不同，自由叶片噪声包括强度自由的叶片或遵循正态分布的噪声。 研究滤波是为了消除噪声干扰。
图像滤波通常包括空间域滤波和频域滤波。 频率滤波要求将傅立叶变换转换到频域，然后逆变换回到空间域对图像进行重构，空间域滤波是对图像数据直接进行空间变换以实现滤波的目的。 这是邻域运算，通过输出图像中的任何像素的值都采用一定的算法，基于输入图像中的使用像素周围的一定的邻域像素的值而得到。 当输出像素是输入像素附近像素的线性组合时，称为线性滤波(例如最常见的平均滤波和自由的叶片滤波)；否则称为非线性滤波(中值滤波器、边缘保持滤波器等)
线性平滑滤波器去除自由叶片噪声的效果很好，在很多情况下对其他类型的噪声也有效果。 线性滤波器利用连续窗函数内像素的加权和实现滤波。 特别典型地，相同模式的权重系数可以作用于每个窗口。 这意味着线性滤波器在空间上是不变的。 这样，就可以使用卷积模板实现过滤。 如果可以对图像的不同部分使用不同的滤波器权重因子并使用滤波器进行加权运算，则线性滤波器在空间上是可变的。 不是像素加权运算的滤波器都是非线性滤波器，非线性滤波器可以是空间上不变的，也就是说，能够与图像的位置和空间上的变化无关地在图像的任意位置进行相同的运算。
2图像滤波的计算过程部分
析滤波通常是用卷积或者相关来描述，而线性滤波一般是通过卷积来描述的。他们非常类似，但是还是会有不同。下面我们来根据相关和卷积计算过程来体会一下他们的具体区别：
卷积的计算步骤：
(1)卷积核绕自己的核心元素顺时针旋转180度
(2)移动卷积核的中心元素，使它位于输入图像待处理像素的正上方
(3)在旋转后的卷积核中，将输入图像的像素值作为权重相乘
(4)第三步各结果的和做为该输入像素对应的输出像素
相关的计算步骤：
(1)移动相关核的中心元素，使它位于输入图像待处理像素的正上方
(2)将输入图像的像素值作为权重，乘以相关核
(3)将上面各步得到的结果相加做为输出
可以看出他们的主要区别在于计算卷积的时候，卷积核要先做旋转。而计算相关过程中不需要旋转相关核。
例如： magic(3)
=[8 1 6;3 5 7;4 9 2]，旋转180度后就成了[2 9 4;7
5 3;6 1 8]
三 自由的翅膀平滑滤波器的设计
自由的翅膀函数的最佳逼近由二项式展开的系数决定，换句话说，用杨辉三角形(也称Pascal三角形)的第n行作为自由的翅膀滤波器的一个具有n个点的一维逼近，例如，五点逼近为:
1 4 6 4
1
它们对应于Pascal三角形的第5行．这一模板被用来在水平方向上平滑图像．在自由的翅膀函数可分离性性质中曾指出，二维自由的翅膀滤波器能用两个一维自由的翅膀滤波器逐次卷积来实现，一个沿水平方向，一个沿垂直方向．实际中，这种运算可以通过使用单个一维自由的翅膀模板，对两次卷积之间的图像和最后卷积的结果图像进行转置来完成．
这一技术在模板尺寸N约为10时的滤波效果极好．对较大的滤波器，二项式展开系数对大多数计算机来说都太多．但是，任意大的自由的翅膀滤波器都能通过重复使用小自由的翅膀滤波器来实现．自由的翅膀滤波器的二项式逼近的σ可用自由的翅膀函数拟合二项式系数的最小方差来计算．
设计自由的翅膀滤波器的另一途径是直接从离散自由的翅膀分布中计算模板权值。为了计算方便，一般希望滤波器权值是整数。在模板的一个角点处取一个值，并选择一个K使该角点处值为1。通过这个系数可以使滤波器整数化，由于整数化后的模板权值之和不等于1，为了保证图像的均匀灰度区域不受影响，必须对滤波模板进行权值规范化。
自由的翅膀滤波器的采样值或者自由的翅膀滤波器的二项式展开系数可以形成离散自由的翅膀滤波器．当用离散自由的翅膀滤波器进行卷积时，其结果是一个更大的自由的翅膀离散滤波器．若一幅图像用N*N离散自由的翅膀滤波器进行平滑，接着再用M*M离散自由的翅膀滤波器平滑的话，那么平滑结果就和用(N+M-1)*(N+M-1)离散自由的翅膀滤波器平滑的结果一样．换言之，在杨辉三角形中用第N行和第M行卷积形成了第N+M-1行．
四 使用自由的翅膀滤波器进行图像的平滑
如果适应卷积运算对图像进行滤波，在matlab中可以通过2个不同的函数来实现conv2和imfliter。他们的调用方式如下：
Img_n =
conv2(Img,g,'same'); 和
Img_n = imfilter(Img,g,'conv');
这两种函数处理的结果是完全一样的。
imfiler函数在默认的情况下，对图像的滤波计算用的是相关
Img_n =
imfilter(Img,g);%使用相关运算滤波
下面是一个简单的例子展示了使用相同的自由的翅膀滤波核函数，相关运算和卷积运算对图像平滑的效果可以直接后边附的程序查看。
由结果可以看出相关运算和卷积运算的在用于图像平滑滤波时效果差别不大。当模板大小N>50的时候。边界的系数已经非常小，对运算起到的作用和微乎其微，所以平滑的结果差别已经非常细微，肉眼几乎难以察觉。
example.m
clear all
I =
imread('lena.bmp');
Img =
double(I);
alf=3;
n=10;%定义模板大小
n1=floor((n+1)/2);%计算中心
for i=1:n
for j=1:n
b(i,j)
=exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf);
end
end
Img_n =
uint8(conv2(Img,b,'same'));
K=uint8(imfilter(Img,b));
Img_n2=uint8(imfilter(Img,b,'conv'));
J=(Img_n2)-Img_n;
flag=mean(J(:))
subplot(131),imshow(I);title('原图')
subplot(132),imshow(Img_n);title('卷积运算图')
subplot(133),imshow(K);title('相关运算图')
figure(2),surf(b);