fzdfs/p【摘要】在用极坐标变换法计算二重积分时，如何变换积分极限是一个难点，本文提出了一种易于理解和掌握的方法。
【关键词】极坐标； 二重积分； 转换
二重积分的计算通常在正交坐标系下进行，但是在被积分函数中包含x2 y2，或者积分区域为圆、扇形、弧的二重积分的情况下，将正交坐标系变换为极坐标系在极坐标系下进行计算更简单。 常用的变换方法是将直角坐标系的原点作为极坐标系的下极，x正轴作为极轴，df(x，y ) dxdy=df(rcos，rsin) rsin) rsin如何将直角坐标系下的积分限制变换为极坐标系下的积分限制是一个难点
教材将双积分极坐标变换的变换方法分为、1(r2 )3种； ，0r(； 02，0r()，在实际解题中，很多学生很难分辨具体使用了什么方法频繁得到错误的结果。 实际上，如果结合图形来看：
若将极轴Ox考虑为绕极o移动动直线，则将动直线Ox逆时针旋转的角度考虑为正角，将动直线顺时针旋转的角度考虑为负角，逆时针移动的动直线Ox从正角开始与积分区域接触到正角结束为止完全扫描积分区域，因此角度的范围
关于r的范围，从极点o出发，放射线通过积分区域，放射线与积分区域最多只允许两个交点(交点多于两个时需要分割积分区域)，观察放射线与积分区域的交点位置，正交区域d的交点所在的曲线为r的下限，正交区域d的交点所在的曲线为r的上限
举个例子来说明。
例如求出Dx2 y2dxdy，d:x2y22ax(a0)。
分析：如图1所示，逆时针和顺时针旋转极轴Ox才能完全覆盖区域d，旋转最大角90和最小角-90。 因此，角的范围为-90至90，从极(原点)放射交叉区域d位于2点，其中1点与o重叠。 此时r为0，另一点所在的曲线为x2y2=2ax ) )
例求Dx2 y2dxdy。 这里，d是由圆y=4-x2和y=-x2-2x包围的区域。
分析图2，从极(原点)引出放射线，观察放射线与区域的交点时，会注意到引出的放射线位于第一象限和第二象限时与区域的交点所在的曲线不同。 因此，这个问题必须分割并限定区域d才能在极坐标变换中限定期间。 将y=4-x2，y=-x2-2x作为极坐标中的曲线，得到r=2。 根据上述方法，容易知道第一象限区域D1的范围为02，来自极点的放射光的交叉区域位于极点和曲线r=2，因此成为D1:02，0r2，同样地极轴Ox正好为第二象限
用极坐标变换变换x=rcos，y=rsin求解直角坐标系下的二重积分计算问题，方法是识别直角坐标系下极和极轴的位置，使极轴在极周围移动正好覆盖积分区域，观察其角度变化范围得到角的范围，并画出极线
【参考文献】
[1]同济大学应用数学系.高等数学(上) m ) .第7版.北京：高等教育出版社，2014。