【前言】数据在传输过程中，受到脉冲干扰、随机噪声干扰、人为干扰等各种干扰的影响，使数据出现错误。 为了控制传输过程中的错误，通信系统必须采取有效的措施来控制错误的发生。
在数据传输过程中传输的都是0和1，传输时有最小的数据单位。 当a传递给b的一个数据单位时，b在收到数据单位时，会遇到两个问题。 一个是数据单位是否有错误，即是否检测到错误，另一个是如果数据单位错了能否纠正，即是否纠正错误。 因此，为了解决这个问题，不是所有的数据单位都是数据本身，包括其他支持错误检测和纠错的东西在内，这个数据单位被称为校验码。
如果校验码无误，就可以自然地从校验码中取出数据。 在【发送端和接收端事先约定校验码中的哪一位是数据】存在错误且不能进行纠错的情况下，接收端当前接收到的校验码被丢弃，要求发送端重新发送。
【奇偶校验】采用奇偶校验方式的校验码被称为奇偶校验。 假设有n位奇偶校验位，其中奇偶校验位为1位，信息位为n-1位。 在8个比特的示例中，奇偶校验位是1比特并且是最高有效位(也可以是最低有效位)，并且剩下的7个比特是信息比特。
为了让校验码中的1的个数成为奇数而进行奇数核对。 偶尔检查，使检查代码中的1的个数为偶数。
信息位为1001101，有四个1。 应该采用奇偶校验，添加1 (即奇偶位为1 )，使校验码的1个数为奇数。 因此，采用奇偶校验时的校验码为11001101。 同样，采用偶然校验时的校验码是01001101。
在信息比特为101 0111的情况下，奇数校验为0101 0111，偶数校验为1101 0111
在信息比特为000 0000的情况下，奇数校验为1000 0000，偶数校验为0000 0000
以奇检查为例。
如果在传输期间检查位的1位发生了更改，则该更改可能位于信息位中，也可能位于奇偶校验位中。 请注意更改是从0变为1，还是从1变为0。 无论改变哪一个，校验码1的个数都会从奇数变成偶数。 接收方检测接收的校验码，若发现1的个数为偶数，则因该数据错误，即有检错能力，但不知道哪个位错了，所以不能纠正错误。
如果校验码有2位更改，则更改后校验码1的个数仍为奇数，此时无法进行错误检测。
对我们来说，是根据公式1的个数来判断校验码是否有误，对计算机来说，是通过异或运算来判断1的个数。 异或运算，如果不同则为1，如果相同则为0。
在奇偶校验的情况下，1的数量是奇数，并且在对校验数字的所有比特进行“异或”运算时，获得的结果必定是1。 相反，成立。
偶校验时，1的个数为偶数，对校验码的所有位进行异或运算时，得到的结果一定为0。 相反，成立。
特点：只能检测奇数个位数改变的出错情况，不能纠错。奇校验不会产生全0校验码。
【海明码】汉明码也称为汉明码，其本质是多重奇偶校验。 假设每一信息比特有n个比特，则将信息比特分为多个组，共有k个奇偶校验比特，每一组进行偶检测。 奇偶校验位的位置位于整个校验码的2的幂的位置，即1、2、4、8、16等位置。 其中，n和k的关系如下。
如果代入各自不同的n，则可对应的k如下。
以信息位1010为例，n=4，对应的k=3，即校验码共有7个位，校验码的第1、2、4个位为奇偶校验位。 这样就得到了校验码的长度和奇偶校验位的位置。 现在的校验码是101吗？ 是0吗？ 然后请求奇偶校验位的值。 请注意，计算机的低位为右，高位为左。
在计算第一个校验码时，即第一组从当前位开始连续检查一位，跳过一位，然后再连续检查一位，再跳过一位。 也就是说，选择第1、3、5、7位，011？ 因为在采用这种4位偶数校验的情况下，1的个数应该是偶数(异或运算结果为0 )？=0。
在计算第二个校验码时，即第二组从当前位开始连续检查两位，跳过两位，然后再连续检查两位，再跳过两位。 也就是说，选择2、3、6、7位。 100？ 采用偶检查的情况下？=1。
计算第三个校验码时（即第三组），从当前位开始，连续校验4位，跳过4位后，再连续校验4位，再跳过4位·······也即选择第4、5、6、7位，其为101？采用偶校验时，?=0。
如此，求得了信息位1010的海明码为1010 010
随后要确定这个海明码经过传输后，接收到的数据是否无误，即如何校验海明码。
校验海明码和奇偶校验的方式类似，每组信息中一位是校验位，其他是数据位。
对第一组，通过对第1、3、5、7位进行异或运算，看结果是否为0。如果为0，表明这几位的数据没出错。
对第二组，通过对第2、3、6、7位进行异或运算，看结果是否为0。如果为0，表明这几位的数据没出错。
对第三组，通过对第4、5、6、7位进行异或运算，看结果是否为0。如果为0，表明这几位的数据没出错。
如果所有结果都为0，表明数据无误。如果结果有1，表明有误。也即可以检错。
假设有1位发生了错误，且错误在第6位，则第一组结果为0，第1、3、5、7位没有错误；第二组结果为1，第2或者6位错误；第三组结果为1，第4或者6位错误。可推知，第6位错误。也即有一位的纠错能力。（将三组结果逆序组合，结果为110，表示6，即第6位出错）（再次强调，计算机中高位在左边。）
（可以检错一位的数学证明还不清楚）
假设有2位发生了错误，且错误在第2位和第3位，则第一组结果为1，则第1、3、5、7位中有1位错误；第二组结果为0，没有错误；第三组结果为0，没有错误。因此，可以知道数据有错误，但不知道错误在哪。
特点：具有1位纠错能力和2位检错能力
【循环冗余码校验码CRC】CRC的基本思想是：在发送端和接收端约定一个除数， 当接收端将校验码进行除法运算后得到的余数为0，则表示校验码无措，否则进行重传或纠错。
校验码包含K个信息位和R个校验位，R为除数的最高次幂，除数通常用一个生成多项式表示，例如生成多项式表示除数为1101，R=3。
假设信息位为101001，则校验码有9位，低三位为校验位，初始值为0，随后用除数进行模2除法获得余数，余数为校验码的值，则校验码为101001 001
假设9位中任意一位发生错误，则都会得到一个确定的余数，当选择合适的生成多项式时，会使得余数各不相同，因此发生错误的位数和余数可以建立一一对应的关系，能进行1位纠错。
CRC是普遍采用的检错方式，其理论上
1）可检测出所有奇数个错误；
2）可检测出所有双比特的错误；
3）可检测出所有小于等于校验位长度的连续错误；
4）以相当大的概率检测出大于校验位长度的连续错误
【参考】https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E6%8D%AE%E6%A0%A1%E9%AA%8C
《计算机组成原理》
https://baike.baidu.com/item/%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%86%97%E4%BD%99%E7%A0%81