在无穷级数(1)中，我们学习的都是数项级数，各项是固定的实数，今天我们开始学习了函数项的级数。 项都是带有变量的函数。 项级数重点讨论两种级数：幂级数(多项式函数的近似)和傅立叶级数(三角函数的周期性)。
主要内容
一.初识函数项级数
二.一致收敛
三.幂级数
知识点4 :求收敛域(收敛半径、收敛区间)
知识点5 :间接展开式的求法
一.何谓初识函数项级数
形状相似
几个概念
收敛点
对于函数项级数为a的数项级数，请选择具体的数a
收敛，则a是函数项级数的收敛点
收敛域
由所有收敛点组成的集合是收敛域。
散点、发散区
恰恰相反
余和
简单来说，馀数和是级数的所有项之和减去前n项之和(部分和)。
求函数项级数的收敛域
基本方法是以函数项级数的x为参数，利用数项级数的知识，用比值法、根值法等方法得到不等式，求解该不等式，得到的结果是[不考虑端点]的收敛域； 然后单独考虑端点处的收敛性即可。
例
关于函数项级数收敛域的求法，以幂级数和傅立叶级数为例，介绍一种更特殊的方法。
二.什么是一致收敛
几何意义
分析性质1 .函数项的级数和函数的连续性
2. 函数项级数可逐项积分
也就是说
3. 函数项级数可逐项微分
三.什么是幂级数
注意(1)式是幂级数的标准形式。
阿贝尔引理
对定理的理解：
也就是说，对于一个标准形式的幂级数，由于幂级数是在整个实数域定义的，所以我们可以不断取点进行讨论，最后，在(-r，r )区间内(不考虑端点)收敛，其他点发散
定理推理：
在幂级数中，r是收敛半径，
(-R，r )是收敛区间，
考虑端点处的数项级数的收敛性后，在收敛区间中加入端点的结果就是收敛域。
知识点4 :求收敛域(收敛半径、收敛区间)
该定理可以快速用于求幂级数的收敛半径，本质上是以前学过的比值法(根值法)。
大致步骤：
调查给定的幂级数是否为标准形式，应用否则需要转换为标准形式的公式，求出收敛半径，单独考虑求收敛区间的端点处的多项式级数的收敛性(判断任意项级数)，写出最终的收敛域
例
求出次幂级数的收敛半径和收敛域。
(1) ) ) )。
(2) ) ) )。
(3) ) )。
（4）
（5）
解：
（1）
首先，它是一个标准形式的幂级数，咱们可以直接套用公式求收敛半径，此时就需要找准幂级数的“系数"(公式中不需要x）。
由于这里求出的收敛半径为无穷大，代表这个级数在实数域内处处收敛，收敛域就是全体实数域。
（2）
很明显需要将给的幂级数化成标准形式，通常用换元可以做到。
接下来就求这个新级数的收敛半径：
然后单独考虑区间端点处，由于此处已经换元，需要还原到原来的x的取值情况：
接下来就是判断一个数项级数的敛散性的问题：
综合得出结果：
（3）
与（2）处理步骤类似，
（4）
直接换元转化为标准形式的幂级数很困难，所以我们需要换一种思路考虑。函数项级数也可以看做数项级数——当我们将x看做一个常数时。数项级数有一个性质，是说系数可以自由进出求和符号（不改变敛散性），因此我们可以将一个x提到求和符号之外，在做考虑。
x每取一个具体的数，原函数项级数就是一个数项级数，因此这个操作时可以的接下来就是换元、计算极限了。
（5）
仍然不好换元，如果不是标准形式，我们是无法直接使用公式的。但是求收敛半径的公式本质上是由比值法、根值法推导来的，是比值法、根值法的一种特殊形式（级数是幂级数的标准形式），所以我们可以追根溯源，回到最开始求函数项级数收敛域的一般方法：使用比值法、根值法。
幂级数的运算
幂级数的一致收敛
也就是说，对于幂级数而言，在收敛域内可以逐项积分、逐项微分。
并且，逐项积分、逐项微分后的收敛半径不变，但是收敛域可能会变化。
所谓幂级数的运算，就是将两个幂级数作加、减、乘、除四则运算，或者涉及求导、积分等运算，前者直接运算即可，后者可能会用到一致收敛的性质（逐项微分、逐项积分）。
例
（1）不难发现 ，前者的幂级数已知，所以要求后者的幂级数，就需要对前者的幂级数逐项积分。
同理，此时就需要对已知的展开式逐项微分：
例
求下列级数的收敛域：
我们知道对幂函数求导、求积分都可以使次数变化1，这里2n+1的奇数次幂不好处理，如果它是偶次幂就好处理了，可以利用幂级数的运算，先将这个级数的逐项微分（不改变收敛半径），然后再求收敛半径，讨论端点处敛散性。
函数的幂级数展开
这一部分主要研究如何将一个函数，在某个区间上写成（展开）幂级数的形式，实现了多项式逼近，与之前的专注的黑猫公式有紧密联系。
回忆专注的黑猫公式，要求f(x)在x0某领域内有n+1阶导数：
专注的黑猫级数与qrdzm级数
专注的黑猫级数就是我们想要展开的幂级数的形式，但是即便如此，我们需要考虑两个问题：
诱导出的专注的黑猫级数是否收敛；即便它收敛，它是不是收敛于原来的函数f(x)；因此我们还需要解决这两个问题：
第一个问题容易解决，这个专注的黑猫级数本身的收敛半径的求法就用之前的方法；
第二个问题，我们需要考虑拉格朗日型余项，用到下面的定理：
（直接）展开式的求法
步骤：
求出函数f(x)的各阶导数；计算各阶导数（包括原函数）在给定点 处的值；代入公式写出专注的黑猫级数（幂级数）；求出收敛域；在收敛域内求出幂级数的展开区间（即在何区间内收敛到f(x)）
例
将 在 处展成幂级数。
解：
在a处展成幂级数，结果的形式就都是(x-a)的幂的和式；因此作出换元，先表示成sint在t=0处的qrdzm级数形式（这一步就可以直接套用展开式），最后再将所有的t换成x-a，结果自然正确。
常用的函数的幂级数展开式有：
这些展开式可以直接使用——将会作为间接展开时的使用公式直接套用。
知识点5：间接展开式的求法
考虑函数的幂级数展开，更多的情况是间接展开，因为能直接求导并且求导结果不太复杂的函数很少，大多数都很复杂，运算起来有很大障碍。
函数的间接展开，就是通过换元以及求导、积分等幂级数的运算等预处理手段，将给的函数转化为一个可以直接幂级数展开的函数，这样就可以直接套公式了。
函数间接展开后，仍需要写出收敛域，由于收敛半径不改变，只需要考虑端点值即可。
例
解：
利用已知的级数展开式
原来的f(x）是由已知的积分而来，因此需要对已知的级数展开式逐项积分。
积分区间不变，仍然为（-1，1），只需考虑端点值处。
收敛域：(-1, 1]
例
将 展成x的幂级数。
解：
肯定需要间接展开了，注意到arctan x求导之后的式子可以直接套用已知展开式，那么对已知的展开式逐项积分即可。
到此就已经将原函数展开成x的幂级数了，接下来还需要求收敛域。
例
将 展成x的幂级数。
解：
首先预判我们会用到的展开式，此处无阶乘、无交错，多半会用到最简洁的的展开式。
那么我们就需要做一下变形，向这个形式转化。
此处并没有逐项积分、逐项微分，仅仅用了一步代换，因此收敛域也不会变。
例
将展成幂级数。