在实际生活中，在已知某个事件发生的条件下，可能需要考虑另一个事件发生的概率，这个概率或者说条件概率。 本文从条件概率出发，引出概率论和数理统计中非常重要的两个公式，即全概率公式和贝叶斯公式。
首先，什么是条件概率？ 定义：设a、b为两个事件，且p(b )为0，则比值称为在事件b已经发生的条件下，事件a发生的条件概率，表示为p(a|b )，即。
如何理解这个条件概率的公式呢？
我们用古典概型(等可能概型)来理解上式。 将实验的基本事件的总数设为n，将b中包含的基本事件的数量设为m(M0，AB中包含的基本事件的数量设为k )。 因为事件b已经发生了，所以考虑事件a发生的概率时，所有可能的结果一般不是整个样本空间s，而是b中的结果。 也就是说，成为a发生原因的结果必然来自b，可以从古典概型中的事件概率的计算中得到。
从集合的观点来看，画画可能很容易理解：
举个条件概率的栗子：
一个袋子里有三个黑球和七个白球。 按顺序取两次不从袋子里放回去的球。 每次取一个球。 现在求：
)1)如果第1次取出的是黑球，那么已知第2次取出的也是黑球的概率
)如果第二次取出的是黑球，那么已知第一次取出的也是黑球的概率。
事件表示第I次取得了黑球，如果I=1，2，则为：
所以：
在上面的示例中，如果不返回样品，则似乎表明每次吸引黑色球的概率相等，而与吸引球的顺序无关。 其实，这种感觉是正确的。 生活中也有这样的例子。 比如买彩票的话，在彩票发行前10天，每天都会去彩票站买号码不同的彩票。 这10张彩票中奖的概率理论上是一样的。 感兴趣的同学可以考虑其理由。
接下来是乘法公式和乘法定理。 在前文中得到了条件概率的公式。 p(b ) 0时，
在p(a ) 0的情况下，
如果改变条件概率公式，则得到乘法公式：
乘法定理是乘法公式的扩展：
最后介绍的是全概率公式和贝叶斯公式。全概率公式
定义：设s为实验e的样本空间，e的一系列事件，如果
称为样本空间s的一个划分或分割。
全概率式：作为样本空间s的1个划分，并且针对任意的事件a
全概率公式的证明：
如果是，请：
同样，也可以从集合的角度理解全概率公式。 下图是全概率公式的图解。
举个全概率公式的栗子：
某厂有四条生产线生产同一产品，四条生产线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，而这四条生产线的废品率依次为0.05、0.04、0.03、0.02 现在，从出厂的产品中取一个，正好求出取不合格品的概率。
假设在a中取一个活动，正好取不合格品。 这意味着要拿走被第I条管线拿走的任何一种产品。 I=1、2、3、4构成了样本空间的一个分区。 然后：
根据全概率公式得到：
因此，从发货的产品中取任意一个，正好取不合格品的概率为3.15%。
贝叶斯公式
在上述例子中，在该工厂有规定的情况下，出现不合格品时，必须追究有关流水线的经济责任。 现在从出货的产品中取一个，结果是不合格品，但是该产品在哪个生产线上生产的标识已经脱落了，该产品来自四条生产线中的一条生产线的概率分别是多少？
上述问题实际上是在已知取得不合格品的条件下，求出该产品从四条生产线中的任意一条生产线的条件概率
同样地，可以求出
到此为止，我们引入了非常有用的公式。 也就是说，以下贝叶斯公式：
作为样本空间s的划分，且针对任意的事件a有情况下
中选择所需的墙类型。 这个公式就是贝叶斯公式。
贝叶斯公式本质上是一个条件概率公式，它只不过用乘法公式展开了条件概率公式中的分子，用全概率公式展开了条件概率公式中的分母。
PS )本文内容主要参考高等教育出版社出版的懦弱的天鹅主编《概率论与数理统计》一书