首先，函数可积函数有原函数！ 两者之间没有关系！ 函数有一个原函数，即一个函数的导数等于该函数，即存在一个导数，该导数等于目标函数。 函数可积是指当f(x )在[a，b]上的定积分存在时(即曲线和轴包围的面积存在且不是无限的情况下)，f ) x )可以在[a，b]上进行积。 即，f ) x )是[a，b]上的可积函数。 (注意到区间限制)
3358www.Sina.com/f(x )在区间I中为原函数存在定理的话，f (x )在区间I中为连续。
如果f(x )在区间I中为一定存在原函数，f ) x )在区间I中为有第一类间断点。 (有振动间断点，可能仍然有原函数)
33558 www.Sina.com /如果f (x )在[a，b]中连续的话，在那个区间内一定是积。 (包括暗有界) ) ) )。
如果f(x )在[a，b]上有界且只有有限个间断点，则该区间一定可积。
如果(f ) x )在[a，b]中只有有限个第一类不连续点，则该区间一定可积。
从原函数存在的条件和函数可积的条件可以明显看出，两者之间没有联系。没有原函数如果只存在第一类的不连续点，必然是积。 实际上，我个人认为，判断某个函数是否可积，在几何意义上可能更容易理解。
举几个例子吧。
But Why is that？ 某个函数的乘积意味着该区间存在定积分，通过莱布尼茨公式，联系函数的乘积中存在原函数，可以将上下限代入被乘积函数的原函数进行减法评估。 也就是说，被积函数如果是积的话就有原函数。
越看越有道理，问题到底在哪里？
借用mdfn老师的话，就是经典的错误，标准的零点。
忽略一个问题，两个函数相等需要同时满足两个条件：
定义规则相同
自变量的定义域d相同
请看图片~写得很清楚((网上剪) ) ) )。
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如果函数可积的充分条件（定积分存在）(可以用导数的中介值定理说明)导数在其不连续点被定义(即，原函数在该点上存在导数)，则这一点不是导数的第一种不连续点。
理由：导数在该点被定义，原函数可以在该点被导数。 当导数在该点存在左右极限但不相等时，原函数在该点存在左导数和右导数，分别等于导数在该点的左极限和可能极限，但由于这两个极限不相等，故原函数在该点的左导数和右导数不相等。 这与导数在那一点上的定义相同。 因此，如果导数在该点存在左右极限且不相等，则导数在该点没有被定义。 因为左导数和右导数不同，所以在这一点上没有定义导数。 如果需要导数在该点定义，则导数在该点的两个或更多极限相等或至少不存在一个。
2021 0603补充从上面的内容可以看出，如果一个函数连续，那么它既可积又存在原函数这个内容可以结合导数的特征值定理来理解。
导数介体定理(达布定理) :
根据导数的特征值定理，可以看出如果一个被积函数在闭区间内可积，那么这个函数在此闭区间内的变上限积分函数是连续的，，但不一定可导，除非f(x)连续。即：f(x)连续，则它的积分可导，否则不可导。。 (导数本身的特性，使用得很棒，详细内容请在下一篇中登载其他特性。 有时间再写吧。 () ) )。
那么，如果f(x )有原函数，则意味着函数f ) x )是某个函数的导数。 即f ) x )中一定没有第一种不连续点和无限不连续点，可能存在振动间断点。 即导函数在定义的闭区间内没有第一类间断点。
这也会让我们更深刻地理解函数中是否有原函数的问题吧~~~