前言方差分析的原理几乎在所有的概率论和数理统计书中都能找到，所以这里直接用照片的形式来表达。 关于方差齐次性检验稍后补充。 知识基础：假设检验。 (今天刚学习数据结构，发现自己以前写的数组基础操作水平极低，很不好意思)
简介分析(Analysis of Variance，简称ANOVA )，也称“变异数分析”，由R.A.Fisher发明，用于两个以上样品平均数差异的显著性检验。 在各种因素的影响下，研究得到的数据呈波动状。 变动的原因可以分为不可控制的随机因素和研究中添加的对结果形成影响的可控制因素两类。 (百度百科)简而言之，看不同因素对样本总体均值的影响。
原理性单因素实验方差分析：
(里面有错误的地方。 应该是f分布的分位点，而不是(1-)分位点。 因为如果原来的假说不成立，团体之间的影响就会变大。 也就是说，SA很大，对应的f也变大。 落入拒绝域的概率，即p(Fthreshold )=，即threshold等于f的分位点)
双因素方差分析
(同样，此处的分位点应该是)代码实现注意事项
从原理上可以看出，方差分析的假设是各因素水平对应的样本服从同方差的正态分布，需要进行正态拟合优度检验和方差齐次检验(数据量大则采用，数据量少则不需要) %初始化数据)，其中for I=: )=randn )为了通过验证1，5 )来确保数据得到验证，设置单因素5级标准) %正态分布的数据。 end%正则性检验(卡方检验) for i=1:5 [h，p]=lillietest ) x ) I， )； judge(I )=p； %由于这里计算出的p是与^2对应的p分位点，在p0.05时，^2进入%接受域，原假设成立，正态分布endjudge%方差齐次检验x=reshape(x '，size(x(x ) x ) x 2 ) %注意形式，逐行展开x %数据对应的因子级别编号ind=[ ones (1，5 )，2*ones ) 1，5 )，3*ones ) 1，5 )，4*ones ) 1，1，5 ) %p是显著水平，如果大于0.05，则接受原始假设。 被认为因素水平的影响不大。 %方差一致性检验在这里并不陌生，现在我们来简单应用一下。 日后追加这方面的内容。 让我们看看这段代码的执行结果。
judge=0.5000.0741、0.05、0.05、0.5000都大于0.05，满足正态分布的要求(毕竟使用了正态分布的数据)
p=0.700320.05，满足方差齐次检验要求
箱线图：从上到下分别为最大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值。 红点是异常点。
单因素[p，table，%status]=Anova1(x，ind ) ) %p:处于显著水平，同样在0.05 % table :方差分析表(status )后的多重分析中使用结果：
p=
0.3350 table=
' source ' ' ss ' ' df ' ' ms ' ' f ' ' probf ' ' groups ' [ 5.4734 ] [4] [ 1.3683 ] [ 1.2166 ] [ 0.3350 ] ' ' error ' [ 22.
gnames : { 5x1 cell } n : [ 5555 ] source : ' ANOVA1' means : [ 0.4099.0779-0.7779-0.0130.5745 ] df 3360 '
table对应方差分析表(具体数字的解读请参考原理) )。
该线图的含义与此前相同，附加了平均值的信赖区间((从中央值指出的4条斜线形成的梯形的长底边的位置，像最初的信赖区间一样约为(-1，1.6 ) )。
% 5bc % 20m % 20h % 20g names % 5d %3dmult compare % 28 status % 29 % 3b % 25c % ef % BC % 9a % E6 % af % 94 % E8 % be % 83 % E7 E5 % ba % 25 % 20e6% 9f % 84 % 20g names % ef % BC % 9a % E6 % B0 % B4 % E5 % B9 % B3 % E7 % ad % 89 % E7 % ba % a7head % 3d % % BC % E5 % B7 % aa % 20c % 80 % E5 % 90 % E4 % b8 % 80 % E5 % 88 % E6 % 84 % E4 % B9 % E4 % b8 % 8d % E6 % 98 % e6xb % 28 % 84 % E5 % 9d % 87 % ee7 % 204 % E7 % 9a % 84 % E6 % A0 % 87 % E5 % 87 % E5 % B7 % ae20 % E6 % B4 % a4 % E5 % E5 % 85 % B3 % % 9a MATLAB % 25 % 200 ans % 20 % 3d % 0a % 20 % E7 % bb % 84 % E5 % ba % 8f % E5 % 8f % B7 % 27 % E7 % bb % 84 % E5 % ba % 8f %
'置信下限' '组均值差' '置信上限' '?' [ 1] [ 2] [-1.1323] [ 0.8093] [2.7509] [0.7247][ 1] [ 3] [-1.7358] [ 0.2058] [2.1474] [0.9976][ 1] [ 4] [-1.5378] [ 0.4038] [2.3454] [0.9697][ 1] [ 5] [-1.5169] [ 0.4247] [2.3663] [0.9637][ 2] [ 3] [-2.5451] [-0.6035] [1.3381] [0.8818][ 2] [ 4] [-2.3471] [-0.4055] [1.5361] [0.9693][ 2] [ 5] [-2.3262] [-0.3846] [1.5570] [0.9746][ 3] [ 4] [-1.7436] [ 0.1980] [2.1396] [0.9979][ 3] [ 5] [-1.7227] [ 0.2189] [2.1605] [0.9970][ 4] [ 5] [-1.9206] [ 0.0210] [1.9626] [1.0000]ans =
'1' [ 0.6907] [0.4588]'2' [-0.1186] [0.4588]'3' [ 0.4850] [0.4588]'4' [ 0.2870] [0.4588]'5' [ 0.2660] [0.4588]multcompare函数还生成一个交互式图形，可以通过鼠标单击的方式进行两两比较检验。该交互式图形上用一个符号（圆圈）标出了每一组的组均值，用一条之间段标出了每个组的组均值的置信区间。如果某两条线段不相交，即没有重叠的部分，则说明这两个组的组均值之间的差异是显著的。如果某两条直线段有重叠部分，则说明这两个组的组均值之间的差异是不显著的。可以用鼠标在图上任意选一个组，选中的组以及与选中的组禅意显著的其他组均用高亮显示，选中的组用蓝色显示，与选中的组差异显著的其他组用红色显示。
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图（交互式）中任何均值都在其他均值的置信区间内，可见均值的差别并不大
操作与单因素类似，只不过要注意输入数据矩阵的形式，每一个Xijk(k=1~t)在矩阵中对应的位置如下： B1B2.....Bi.....Bn A1X111X121............. X112X122............. ... ................ X11tX12t............. A2 X211X221............. X212X222............. ................... X21tX22t.............. ... AjXij1 Xij2 ... Xijt ... An clc,clear x0=[58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.8 49.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.4 60.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.7 75.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4]; x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6); for i=1:4 x(2*i-1,:)=x1(i,:); x(2*i,:)=x2(i,:); end[p,t,st]=anova2(x,2)%anvoa2(x,t) 这里的t就是一组因素水平作用下样本的样本数量
结果：
p =
t =
'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Columns' [ 370.9808] [ 2] [185.4904] [ 9.3939] [ 0.0035]'Rows' [ 261.6750] [ 3] [ 87.2250] [ 4.4174] [ 0.0260]'Interaction' [1.7687e+03] [ 6] [294.7821] [14.9288] [6.1511e-05]'Error' [ 236.9500] [12] [ 19.7458] [] []'Total' [2.6383e+03] [23] [] [] []st =
source: 'anova2' sigmasq: 19.7458colmeans: [58.5500 56.9125 49.5125] coln: 8rowmeans: [55.7167 49.4167 57.0667 57.7667] rown: 6 inter: 1 pval: 6.1511e-05 df: 12
这里p均<0.05，则拒绝原假设，认为在不同A，B水平下均值的差异还是很大的，而且AB的交互作用也是很显著的。
结果解读与对应单因素多重分析的结果一致
PS：有不正确或者不详细的地方欢迎在留言区提出，大家一起学习