镇文图
之前说
本章的内容应该在第三章的知识整理之后发表，但中途出了点问题，变成了鸽子。 不定积分的公式有多少，那真的很多。 在某教材的附录中发现了不定积分表。 那里有140多个公式。 一开始我打算从头到尾引导这些公式，但是工作量大得不可思议，而且有些东西我完全引导不了。 其实，不定积分的核心知识点并不多，那些展开的结论其实是不需要记忆的(反正记不住，考试的时候就要重新推导)。 在这次的知识整理中，整理不定积分这一章的知识点，力求保留最精华的部分。
一.核心知识点
1 .不定积分的概念
如果某个函数f(x )的导数是f ) x )，则f ) x )被称为f ) x )的【一个】元函数。 f(x )所有元函数的集合称为f ) x )的不定积分，表示为f(x ) dx=F(x ) x ) c。
2 .基本积分公式基本积分公式
其中，基本积分公式(一)直接由基本求导公式得到，基本积分公式(二)由第一种换元法导出。
3 .不定积分的性质
可拆装，系数上升。 [KF(x ) g ) ]dx=kf(x ) x ) dxg ) x ) dx。
4 .求不定积分的第一类换元法(凑微分法) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 65 )
f[g(x ) ] ) g ) dx=f(g ) x ) ) d ) g ) x ) dx=f(g ) x ) ) c
请注意，不定积分的公式“f(x ) dx”中有微分符号d。 也就是说，遵循了微分算法【d(f(x )】=f ' ) x ) dx】。 如果f(x )的某个部分被顺利积分，就可以将该部分移动到微分符号的右侧。 例如，在(简单的茶) dx的情况下，容易知道cos x的原函数之一是sin x，所以将原公式设为sin x ) d ) sin x )，u=sin x，得到原公式=udu，则原公式为(1)
第一类兑换法是求不定积分的核心方法，即使使用后面的第二类兑换法和分部积分法，也离不开第一类兑换法。 在此，基本微分的性质必须熟悉d(x )=)1/a ) d[a(x ) x ) b]。
5 .求不定积分的第二类兑换法
第一类兑换法的核心是令u=g(x )，而第二类兑换法的核心是令x=g (u ) )。
f(x ) dx=f(g ) u ) d ) g ) u )=f ) g ) u ) g ' ) du
形成这种形式后，用第一类换元法求不定积分，最后代入u=g^(-1 ) ) x ) ) g^ )-1 ) ) x )是g ) ) x )的反函数)即可得到结果。 根据g(x )的形式，第二类还原法可分为三角置换、根式置换、逆置换三种类型。
三角置换。 在这里用例题来说明。
例如sqrt(1-x ) dx。
一看到这个平方减法就会联想到三角恒等式sinx cosx=1，所以要注意x=sint(t的定义域！ x[-1，1 ]，所以t[-/2，/2] )。
原公式=sqrt(cost ) d ) sint ) ) cost dt=(1/2) )(1 cos 2t ) dt。
【由2倍角式cos 2=2cos-1得到】
利用不定积分的可分解性，得到原公式=(1/2) t )1/4) sin 2t。 (积分常数在最后追加) ) )。
此时，我们求出了置换后的不定积分的结果。 最后一步是让世代回归。 我们可以从x=sin t中得到t=arcsin x。 如果直接代入t，则有原公式=(1/2) arcsinx )1/4) sin )2arcsinx )。
而sin(2arcsinx )=2sin (arcsinx ) cos ) arcsinx )=2xsqrt(1-x )。
因此sqrt(1-x ) dx=)1/2) ArcSinx ) x/2 ) sqrt )1-x ) c。
常见的三角置换技巧如下所示。
当看到sqrt(a-x )时，可替换为x=asint )|t|/2；
因为有三角恒等式1-sinx=cosx。
看到sqrt(ax )时，可以置换为x=a(tant ) |
因为有三角恒等式1 tanx=secx。
可见sqrt(x-a )时，可置换为x=as ect ) 0
因为有三角恒等式secx-1=tanx。
需要注意的是，我们老师特别强调的是用三角置换画三角形。 这是因为，在现代变换复杂的情况下，我们最好用辅助三角形法进行变量的复原。 不这样做的话，很容易出错。 在保持上述例题的情况下，绘制下图所示的辅助三角形，置换变量之间的关系非常清晰。 三角置换需要画辅助三角形
如果x=sin t，根据三角函数的定义，可以看出有sin t=x/1 (对边比斜边)，相反，x/1与t的正弦值相对应()，所以在此基础上得到t=arcsin x。 这很简单，但是余弦正切及其反函数有时真的不清楚，所以需要画出辅助直角三角形。
置换。 该置换的形式一般为x=1/u，通常用于求分母次数高于分子次数的不定积分。 例如1
/[x(6+x^8)]dx，分母中有x的8次方这根本没法直接求。我们通过倒代换，弄出可以凑微分的因子就好办了。解题过程：(图中t=1/x与x=1/t是一样的，但我想表达的其实是后者，写错了[笑哭])倒代换③根式代换。这种代换一般直接将整个根式替换为中间变量u(不是x=g(u)的形式，但仍然属于第二类换元法)。例如计算∫1/[sqrt(1+e^x)]dx，直接令u=sqrt(1+e^x)，接下来的就好办了。(过程略)
6.求不定积分之分部积分法
由两个函数乘积的求导法则很容易推导出分部积分法公式：
设u=u(x)，v=v(x)，则有∫uv'dx=uv-∫u'vdx。
分部积分法可以说是最有意思的一种积分方法了。比如求∫ln xdx，原式=xln x-∫xd(ln x)=xln x-∫1dx=x·ln x-x。
注意分部积分法有两类特殊的用法。一是有一类含三角函数的不定积分在若干次使用分部积分法求不定积分之后会回到原来的形态，这时候就像解方程一样把它解出来就好；二是对与某些形如∫([f(x)]^n)dx的积分可以用它导出其递推公式(关于这个，下文有一个关于n次方三角函数的不定积分的推导，可以参考)。
二、技巧与运用
1.有理函数和可化为有理函数的积分
这部分是最难的，我至今也没有完全弄清楚。虽然专栏没啥人看，但还是有人看，本着对自己对读者负责任的态度，我！必！须！讲！清！楚！
对于有理函数(就是那种特别复杂的分式)，可以通过部分分式分解将其化为最简分式和，然后利用积分的加可拆性质求出其积分；对于三角函数和简单无理函数的积分，通过变量代换将其化为有理函数的积分即可。
①部分分式分解。部分分式分解又分两种情况，一是分母因式分解后每项都不一样(即每个因子的次数都是1)，二是分母因式分解后出现因子次数大于1的项(即有因子重复)。下面我会各举一个例子来说明两种情况怎么做(由于直接打出来排版复杂且不直观，故拍草稿照片)。
情况一：部分分式分解
情况二：部分分式分解
过程解释在草稿中已写出，但如果还有不懂的地方，欢迎评论留言。
②三角函数有理式的积分。所有三角函数都可以用sin x和cos x表示，所以含三角函数的有理式总可以记为只含sin x和cos x的式子。利用万能代换公式u=tan(x/2)便能将其化为有理函数的积分。
sin x=2sin(x/2)cos(x/2)/[cos²(x/2)+sin²(x/2)]=2u/(1+u²)
cos x=(1-u²)/(1+u²),tan x=2u/(1-u²),dx=[2/(1+u²)]du
其中sin x的推导过程如下。tan x由二倍角公式tan 2θ=2tanθ/(1-tan²θ)推导出，cos x可由三角公式tan x=sin x/cos x推出。万能代换推导
下面我以一道题为例来演示万能代换怎么用：万能代换的应用
需要注意的是，万能公式虽然万能，但计算量比较大。如果能通过观察发现待积分函数中可化简的地方，可以更简便地计算出不定积分。
③简单无理函数的积分。一般都是令整个根式等于中间变量来简化积分。若f(x)中含有根式函数g(x)，那么直接令u=g(x)计算积分,最后根据反函数求出x=g^(-1)(u)，再代入求解。
2.正弦/余弦函数的n次方的积分及其推导
对于sin x、cos x的n次方的积分系列，有如下公式(递推公式)sin x、cos x的n次方的积分系列公式
其中第一个公式的推导过程如下：第一个公式的推导过程
第三个公式的推导过程如下：第三个公式的推导过程
其他公式可以用类似的方法得到。
3.三角函数系列求导/积分公式三角函数系列求导/积分公式
4.三角函数n次方系列积分公式三角函数n次方系列积分公式
三、归纳与总结
1.来自课本的本章小结：第四章归纳总结-1
第四章归纳总结-2
2.官方劝退？不定积分的特点决定了它的运算远比导数/微分运算要困难得多，而且方法技巧众多(本专栏只整理了核心方法)。不过不要怕，只要不断练习，就能熟悉这些技巧，做到得心应手。“官方劝退”
3.特别注意：对初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定是初等函数，如∫e^(-x^2)dx，∫[(sin x)/x]dx等，都不是初等函数，这种情况俗称“积不出来”。
4.求不定积分一定不要忘记加上积分常数！
否则会扣分，不值得！重要的事情说三遍：
求不定积分不要忘记+C！
求不定积分不要忘记+C！
求不定积分不要忘记+C！
当然关于这个有一个段子。有一种饮料就叫做+C，于是有人说，考高数的时候放一瓶+C，时时刻刻提醒自己不要忘记+C[笑哭]……求不定积分不要忘记+C！
(本章完~)