第一节向量组的线性相关性
另一方面，将由数学概念定义1.1n个有顺序的数构成的数组称为n维向量，将该n个数称为该向量的n个成分，将第I个数称为第I个成分。
定义1. 2给定的取向量组a :对于任一实数的向量
向量组a的线性组合，称为此线性组合的系数。
定义3提供取向量组a :和矢量，在存在组数的情况下
，
向量称为向量组a的线性组合，此时向量可在向量组a中线性表现。
定义4提供取向量的组a :有不全为零的数的组的情况
，
矢量群a称为线性相关，否则不是线性相关。
在定义5中提供了两个向量组a :和b :如果b组中的每一个向量可由向量组a线性表达，则可获得b http://www.Sina.com/a http://ww.a
二、原理、公式和规律能向量组线性相关基本原理的：
上式成立时，如果不全部为0，则线性相关确定，如果仅为，则线性相关确定。
线性表示
1 )单个向量1.判断向量组为线性相关的充分条件是http://www.Sina.com/=http://www.Sina.com /；
2 )两个向量为线性相关的充分必要条件是它们与对应的分量成比例。
3 ) n个n维向量线性相关的充分必要条件是它们组成的n阶行列式为零。
4 )向量组线性相关的充分必要条件是向量组中的至少一个向量可由剩下的m-1个向量线性表示。
5 )向量组线性相关的充分必要条件是由此构成的矩阵的秩小于向量的个数m。
6 )当向量组呈线性相关时，向量组也呈线性相关。
7 )对于mn，m个n -维向量必定与线性相关。
8 )一个向量2.向量线性相关性的判定线性无关的充分必要条件是http://www.Sina.com /http://www.Sina.com /。
9 )两个向量不是线性关系的充分必要条件是它们对应的分量不成比例。
10 )与n个n维向量的线性无关的充分必要条件是它们组成的n阶行列式不等于零。
11 )与向量组线性无关的充分必要条件是由其构成的矩阵的秩等于向量的个数m。
12 )如果向量整体的线性无关，那么它们的任何子群都与线性无关。
13 )如果r维向量组与线性无关，而是在r维向量组中的每个向量后面添加一个分量，则r 1维向量也与线性无关。
如果与向量组的线性无关，而是与a线性有关，则3358www.Sina.com/可以用线性表示，3358www.Sina.com/可以用线性表示
a:定义法； 反证法； 判定法； 计算法。
三、重点、难点分析本节的定义、定理、性质、推理较多，且非常抽象，难以理解，存在一定难度。
关键是向量组线性任性列车性的定义理解，以及如何判断向量组的线性相关。
四.典型例题0.向量组。 t为什么具有线性相关； t为什么是值与线性无关。
a:设置
显然，在t=5的情况下，r653358www.Sina.com/(23 )，所以存在线性相关。
对于t5，R(a)=3，因此线性无关。
由于本题中向量的个数与向量的维数相同，因此可以根据它们所建立的3次行列式是否等于零来决定向量组的线性相关，也可以利用定义并利用计算法进行判定。
用一组向量对3358www.Sina.com/.向量0进行线性表示，表示方法唯一的必要充分条件是线条与线条无关。
http://www.Sina.com/: http://www.Sina.com /，信使
(1) ) ) )。
又见3.
ng>能由 线性表示，所以有 (2)
将(2)—(1)得
由表示法的唯一性，知：
得， ，故 线性无关。
充分性，假设有两种表示法，即
两式相减得
由于 线性无关，所以
故表示法是唯一的。
第二节. 向量组的秩 一．数字概念
定义2.1 设有向量组A，如果在A中存在r个向量 ,满足
(1)向量组A0: 线性无关；
(2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关，那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关组(简称最大无关组)。
定义2.2 向量组最大无关组中向量的个数称为向量组的秩。
矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组中秩称为矩阵行秩。
二．原理，公式与法则定理2.1 R(A)=A的行秩=A的列秩
定理2.2 向量组A与其最大无关组 等价。
定理2.3 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大雨向量组A的秩。
推论1 等价向量组的秩相等。
推论2 设 ，则 。
推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。
三．重点，难点分析本节的重点是向量组的最大无关组和秩的定义，求向量组的最大无关组和秩的方
法，这对于下面将要学习向量空间和求齐次线性方程组的基础解系是非常重要的。难点是上面讲述的定理的证明，需要同学们具有一定抽象思维能力和逻辑能力。
四．典型例题例1．设向量组
求向量组 的秩和一个最大无关向量组。
分析：解此类问题可根据矩阵与向量组的关系以及矩阵列(行)秩的关系，把向量组 拼成矩阵，从而可知其秩又可得矩阵A的最高阶非零子式所在列是该向量组的最大无关组。
解：设 ，对A施行初等行变换，得
显然R(A)=2，所以向量组 的秩为2，且 是 的一个最大无关组。
例2．向量组中的任一向量必是向量组中某个最大无关组的线性组合。
证：设向量组A： 的某个最大无关组是A0:
设αi是向量组A中的任一向量，分情况讨论如下：
①αi在向量组A0中，则有
②若αi不在向量组A0中，由于A0是A的最大无关组，而 线性相关，故αi可由 线性表示。
对于最大无关组的证明要注意以下两点：
(1)证明该向量组是线性无关；
(2)整个向量组中的任一向量都可由该向量组线性表示；或利用等价的关系证整个向量组与其等价。
from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm