一、引言《人工智能数学基础—定积分6：无穷限函数的反常积分计算》介绍了无穷极限函数的异常积分概念、计算方法及收敛性判断方法，求出被积函数的原函数，按定义取极限，判断有无极限是否收敛。 除了这条路之外，还有异常积分收敛性的判断方法。 这就是本节介绍的无限域函数的异常积分审查收敛法。
审查收敛法是判断函数和级数是否收敛的方法。
二、无穷异常积分审查收敛法无穷异常积分的无穷限是指区间[a，]，aR，除非另有说明，以下介绍的内容均以此为前提。
2.1、函数值大于等于0有界连续函数的无穷极限异常积分收敛定理1：设函数f(x)在区间[a，+）上连续，且f(x)0，若f(x)对应的无穷限积分上限函数：
在区间[a，+）上有上界，则下面的反常积分收敛：
这是因为f(x )为0，f ) x )在区间[a，]中单调增加，另外f ) x )在[a，]中有上限，f ) x )在区间[a，]中是单调有界函数，因此f ) x )
2.2、审核收敛原理定理2：设函数f(x)、g(x)在区间[a，+）上连续，如果0f(x)g(x)(ax+)，并且g(x)在[a，+）上的无穷限反常积分收敛，那么f(x))在[a，+）上的无穷限反常积分也收敛；如果0g(x)f(x)(ax+)，并且g(x)在[a，+）上的无穷限反常积分发散，那么f(x))在[a，+）上的无穷限反常积分也发散。
这个定理的证明很简单，这里就不介绍了。
2.3、比较审查法1 定理3：设函数f(x)在区间[a，+）（a0）上连续，且f(x)0，如果存在常数M0及p1，使得f(x)M/xp(ax+)，那么f(x)在区间[a，+）（a0）对应的无穷限反常积分收敛；如果存在常数N0，使得f(x)N/x，那么f(x)在区间[a，+）（a0）对应的无穷限反常积分发散。
证明想法：
在《人工智能数学基础—定积分6：无穷限函数的反常积分计算》例3中，证明了函数f(x )=1/xp为[a，] (a0 )且在p1时收敛，在p1时发散，如果g(x )=A*f(x ) (x ) ) (A0 )则求证
应用案例：
2.4、极限审查收敛法1 定理4：设函数f(x)在区间[a，+）上连续，且f(x)0，如果存在常数p1，使得x-+时xpf(x)的极限存在且等于c（c小于+），那么f(x)在区间[a，+）上对应的无穷限反常积分收敛；如果x-+时xf(x)的极限存在且等于d（d0），那么f(x)在区间[a，+）对应的无穷限反常积分发散。
先读一下书的证明书吧：
老猴子花了点时间才理解这个证明。 上述证明在证明两个结论时，使用了极限的定义。 第一个结论的证明，将无限异常积分分为一个定积分和无限异常积分之和，证明了分割后该异常积分是收敛的，从而证明了整个无限异常积分是收敛的。 当证明了第二个结论时，同样被定义为极限，但证明了f(x )的反常积分发散。 感觉只是因为取的极限定义的不同，相反，根据是否取的值，结论会有所不同吧。
两个结论的证明过程相反取值，第一个只能证明f(x )大于一个收敛存在的无穷异常积分函数，但这既不能证明f ) x )收敛，也不能证明f ) x )发散，第二个是f ) x )是一个无限异常积分函数
这里的根本原因是函数f(x )=1/xp为[a，] ) a0 )时在p1时收敛，在p1时发散，所以必须用文中的方法证明才能得到可靠的结论。
应用案例：
2.5、绝对收敛定理5：设函数f(x)在区间[a，+）上连续，如果反常积分：
收敛，那么反常积分：
也收敛。
*证明构想： **(x )=(f ) x0|f )|)/2，则) x(|f ) |，得到)的异常积分收敛，但f(x )为)-|f ) |
定理5是由绝对收敛的反常积分必定收敛
应用案例：
三、本文介绍了连续函数在无穷(这里的无穷是指[a，] )区间上异常积分收敛性判断的几种方法。 有判断函数值在0以上且有界的方法、比较考虑原理、比较考虑方法1、极限考虑方法1、绝对收敛法等，这些方法可以脱离原函数判断无穷异常积分是否收敛。
注
>：这里比较审敛法1、极限审敛法1都带有1，是因为这两个方法对无界函数也有类似规则。 说明：本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。
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