8.1 多元函数的基本概念
本章在一元函数微分学的基础上，研究多元函数的微分法及其应用。 在讨论中，主要以二元函数为中心。 因为从一元函数到二元函数会产生很多新问题，可以类推从二元函数到二元以上的函数。
建议同学们在学习中注意将二元函数的概念和结论与一元函数相应的概念和结论进行比较，区分理解两者之间的“同中之异，异中之同”，从而大大提高学习效率。
一、区域
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将平面上的一点设为某个正数，距点的距离小的点整体被称为点的1。
也就是说
或者
在几何学上，是以面上的点为中心，作为半径的圆内部的点的整体。
以后，如果不需要强调附近的半径，可以表示点的附近。
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平面上的点集为平面上的一个点，存在有点的附近，则被称为、邻域。
如果点集的点都是内点，则称为邻域。
例如，点集是开放集。
如果存在属于点的任何附近的点，则为2。
的整个边界点称为、区域。
例如，点集的边界为圆周和。
作为开集，如果内的任何两点都可以用完全属于的折线连接的话，开集就称为内点。
的开集称为开集或边界点。
例如，点集和都会区域。
开放区域连同其边界一起被称为边界。
例如，和都是闭区域。
点集如果有正数，以使所有点与某一定点之间的距离不超过，则为连通的； 否则为区域
举例来说，它是有界开放区域但却是无界开放区域。
【例】说明点集的特征。
开区域，但为闭区域，为有界点集套。
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平面上的点集，假设是平面上的点，且任意点附近始终有无限多个点属于点集，则被称为无界点集。
很明显，的内点一定会聚在一起；
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例如、的集中点；
直线上的任意点是的边界点，也是收敛点。
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轴上的点与实数一一对应，并且因此整个实数表示由轴上所有点组成的集合，即开集。
在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元阵列形成一一对应，因此，整个二元阵列表示平面中所有点的集合非连通。
在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元组形成一一对应，从而整个三元组表示空间中所有点的集合无界的。
一般来说，
作为确定的一个自然数，将整个原数组称为维空间，每个原数组称为维空间内的一个点，数称为该点的第一个坐标，维空间表示为。
与维空间的两点的距离规定如下
很明显，当时，上式是解析几何学，为3
前面提到的平面点集的一系列
列概念，均可类似地推广到维空间。例如：设，是某一正数，则内的点集
称为点的邻域。
以点的邻域概念为基础，便可完全类似地定义内点、边界点、区域、聚点等等一系列概念，这里不再赘述。
二、多元函数概念
实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系。
【例1】圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系
这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定了。
【例2】设是电阻与并联之后的总电阻，则它们之间具有关系
这里，当在集合内取定一对值时，的对应值也就随之确定了。
抽出这些具体例子所蕴藏的内涵，我们可给出二元函数的定义。
【定义】
设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定法则总有确定的值与之对应，则称是变量的二元函数（或点的函数），并记为
（或 )
点集称为该函数的定义域， 称为自变量，称为因变量，而数集称为该函数的值域。
【注记一】是的函数有时也记为这样的形式
请注意，这种记号中的两个的含义是不同的，左边的是因变量，右边的是对应法则。尽管我们的记号发生了混写，但对它们的涵义要“胸中有数”。
【注记二】一般地，把定义中的平面点集换成维空间内的点集，可类似地定义元函数，元函数也可简记为，这里，点，当时，元函数也就是一元函数，当时，元函数统称为多元函数。
【注记三】多元函数的定义域约定
在讨论多元函数时，以这个算式有确定值的自变量取值点集为该函数的定义域。
例如，函数的定义域应认为是
而函数的定义域为
【注记四】函数的几何意义
设函数的定义域为，对于任取点，其对应的函数值为，于是得到了空间内的一点。当遍取定义域内一切点时，得到了空间点集
这个点集称之为二元函数的图形， 通常我们称二元函数的图形是一张空间曲面。
【注记五】介绍计算机作图
1、对区域用直线,作剖分，得到面上的格点。这些格点有一部分在区域内，有一部分在区域之外。
2、计算函数在这些格点处的值,对区域之外的格点，函数无定义，计算机会自动进行判断，在作图时自动处理。
3、在空间直角坐标系中画出这些点，并用网状线将这些点联结起来，lmdjz一块曲面。
三、多元函数的极限
先讨论二元函数当时的极限。
【描述性的定义】
设函数的定义域为，点是的聚点，对于任意点，当点以任何方式趋近于点时，对应的函数值无限地趋近于一个确定的常数，则称常数为函数在时的极限，记作
或
对于这一定义，我们给出如下几点重要注解。
【注一】是区域的聚点，则它可能属于，也可能不属于，但在任意的邻域内总有内的无限多个点，因此，
取点 总是可行的。
例如，对于极限，这里，是函数的定义域的聚点。
【注二】，表示点以任何方式趋近于点，在内，点趋近于点是沿“四面八方”的各种各样路径来逼近的，而在一元函数的极限中，的方式仅有沿数轴这一种路径，因此，二元函数的极限与一元函数的极限相比较，它是一种“全面极限”，比一元函数极限复杂得多。通常我们称它为二重极限。
【例1】求二重极限。
解：
【注三】二重极限是一种全面极限，当 以某几条特殊路径趋近于时，即使函数无限地趋近于某一确定常数，并不能断定函数的极限存在。
反过来,如果当沿两条不同路径趋近于点时,函数趋近于不同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在。
【例2】试证明函数在原点的二重极限不存在。
证明：若点沿路径趋向于原点时，有
若点沿路径趋向于原点时，有
这表明，当点仅以两种特殊的路径趋近于原点时，函数的极限值不相等。据二重极限的定义可知，
不存在。
判定函数的二重极限不存在的常用方法
设法选择面上过点的两条曲线与，使极限与的值不相等。
【例3】求
解：
而当时，
由两边夹法则，有
故
函数的二重极限的概念不难推广到更多元函数的极限，这里从略。
四、多元函数的连续性
利用多元函数极限的概念，可定义多元函数的连续性。
【定义】设元函数的定义域为，是的聚点，且，
若 ，
则称元函数在点连续。
设是开区域或闭区域，若函数在上各点处都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数。
设是函数定义域内的聚点，如果在点处不连续，则称它为函数的间断点。
【例4】设函数
试证明：原点是其间断点。
证明：二重极限是不存在的，事实上
如图所示，取过原点的路径( 为任意实数 ），有
此极限值与参数的取值有关，随着的不同而不同，因此二重极限
不存在，点是函数的间断点。
与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界的闭区域上，多元连续函数也有如下性质。
【最大值与最小值定理】
在有界闭区域上的多元连续函数，在上至少取得它的最大值和最小值各一次。
【介值定理】
在有界闭区域上的多元连续函数，若在上取得两个不同的函数值，则它在上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
特别地，有界闭区域上的多元连续函数可取得它的最小值与最大值之间的任何一个值。
可以证明，一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数。据极限运算法则，进一步可证明，多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数，多元函数的复合函数也是连续函数。
多元初等函数是指这样的函数：
它是由一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由常数及含多个自变量的基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成。
例如，下述函数均为多元初等函数
， ,
据多元连续函数和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再考虑到基本初等函数的连续性，我们得出如下结论
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
【注】这里的定义区域是指含在定义域内的任一区域。
因此，对于多元初等函数，如果要求它在一点处的极限值，而又在此函数的定义区域内，则其极限值就等于函数在该点的函数值，亦即
【例】求二重极限
而却是区域，且，所以是函数的一个定义区域，且点，故
【注】若不引进区域，也可用下述方法来判定函数在点处的连续性。
因点是函数定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以便是函数的一个定义区域，又因是初等函数，因此，在点处连续。
据上述注记，我们有处理这类情况的一般方法：
求时，如果是初等函数，且是定义域的内点，则在点处连续，于是
【例5】求二重极限
解：
【正】原极限中是沿除去轴、轴之外的任何路径趋近于原点，而使用变量替换之后，的路径改变成了，这与二重极限定义不符。
另一方面，与并不等价。