8.8多元函数极值及其求法
一、多元函数的极值
1、多元函数极值定义
假设函数在某个点的邻域内定义，对于该邻域内不同的点，符合不等式时
函数为极大值；
如果适合不等式
据说函数在点上取极小值。
极大值和极小值统称为函数的极值； 函数取极值的点称为极值点。
3358www.Sina.com/二元函数的极值为注：，这一概念易于推广到多元函数中。
【例1】研究下述函数在原点是否取极值。
(1)、
(2)、
(3)、
解：根据那些几何图形可以看出3360
开口部朝上的局部概念，取极小值；
开口部向下的旋转抛物面，取极大值；
在锥面中，不取极值。
马鞍面
【定理1】假设函数在点处具有偏导数且取极值，则该点处的偏导数必定为零，即
【证明】也可以在点上有极大值。
根据极值的定义，有点邻域内的所有点都适合不等式
特殊情况下，在这附近内取，但的点也必须是不等式
这表示：一元函数在哪里取极大值，所以一定会有
可以证明同样的事情
【注1】当时，曲面与点有切平面
该切平面平行于水平面。
例如，如果在点处获取极小值，并且该值位于该点处，则为、
其切平面
也就是说
此切平面为(面)。
同时成立的点被称为函数2、函数取得极值的必要条件。
【注2】定理明确后，为驻点，相反为可(偏)导函数的极值点必为驻点。 例如，在点上不取极值，但驻扎在点上。 这表明驻地只是一个函数函数的驻点却不一定是极值点，需要另一个确定来确定它是否真的是极值点。
【注3】偏导数或不存在的点也是函数的可疑极值点。
例如，虽然点具有极大值
不存在。
当然，不存在。
当然，定理1的结论也可以推广到多元函数。
可疑的极值点
【定理2】假设函数在有点的邻域内连续，且有1次和2次连续的偏导数。 另外，以下
、
函数在这里是否取极值的条件如下
(1)、有时具有极值，且当时具有极大值，
当时有极小值；
) 2、无极值时
) 3、可能有极值，也可能没有极值，需要另外判定。
关于这个绝对不证明，只介绍其记忆的方法：
【例2】求函数的极值。
由于解：函数具有二阶连续偏导数，可疑极值点只能是固定点，
解方程式
请求所有驻地
进而求出二次偏导数
在点上，
函数取极小值；
在点上，
函数不取极值；
在点上，
函数不取极值；
在点上，
函数取极大值。
3、函数取得极值的充分条件
二、多元函数的最值
如果二元函数为1、有界闭区域上连续函数的最值确定以上有界闭区域以下，则在以上中一定取最大值。 函数取最大值的点可能同时位于的内部和边界上。
如果函数在的内部取最大值，则没有该最大值也是函数的极值。 函数取极值的点是驻点或使、不存在的点。
如果函数在的边界取最大值，基于的边界方程，变换为在某个闭区间定义的一元函数，进而可以用利用一元函数求出最大值的方法求出最大值。
综合以上讨论，有界闭区域上连续函数的最大值的求法如下所示为：
(1)、的内部的，同时归零的点和/或不存在的点；
(2)、计算内部所有可疑极值点处的函数值；
(3)求出、的边界上的最大值
(4)、比较上述函数值的大小，最大的是函数为上面的最大值； 最小的是函数上的最小值。
【例3】在矩形区域中求出二元函数
上的最值。
解:
得驻点,且
在边界 上,,
且
在边界上, , 则
在边界 上, , 则 ,
则 ；
在边界上, , 因
, 故单调增加, 从而 。
比较上述讨论, 有
为最大值,
为最小值。
2、开区域上函数的最值确定
求函数在开区域上的最值十分复杂。
但是,当所遇到的实际问题, 据问题的性质可断定函数的最值一定在上取得,而函数在上又只有一个驻点, 那么就可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值。
【例4】某厂要用铁板做成一个体积为立方米的有盖长方体水箱, 当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能用料最省?
令
解方程组得唯一驻点 ,
据问题的实际背景, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域内取得,又函数在内只有唯一的驻点, 因此, 可断定当 时, 取得最小值。
这表明: 当水箱的长、宽、高分别为米时, 所用材料最省, 此时的最小表面积为。
三、条件极值与拉格朗日乘数法
前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为无条件极值。
但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。
例如: 求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。
若设长方体的长宽高分别为,则其表面积为
这里除了外,还需满足限制条件 。
象这类自变量有附加条件的极值称为条件极值。
有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例；但对一些复杂的问题，条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。
1、函数取得条件极值的必要条件
欲寻求函数 (1)
在限制条件 (2)
下的取得条件极值的条件。
函数若是在处取得条件极值,那么它必满足方程(2),即
(3)
另外,方程(2)可确定一个隐函数,将之代入(1)有
(4)
这样,函数(1)在取得条件极值,也就相当于函数(4)在处取得无条件极值。
据一元函数取得极值的必要条件有
(5)
由(2)式有
代入到第(5)式有
(6)
由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点取得条件极值的必要条件,只是这一式子的形式不够工整,不便于记忆,为此,我们作适当的变形。
令 ，有
这三个式子恰好是函数
的三个偏导数在点的值。
2、拉格朗日乘数法
要求函数在限制条件下的可能极值点,可先作谦让的柠檬函数
再解方程组
求出点,这样求出的点就是可疑条件极值点。
【注记】谦让的柠檬乘数法可推广到一般多元函数或限制条件多于一个的情形:
例如:求 在限制条件
下的极值。
作谦让的柠檬函数
解方程组
这样求出就是可疑极值点的坐标。