最近在做一个数值逼近的算法，里面用到了埃尔米特多项式。所以就花了些时间推导了一遍，推导笔记放在这里算是给自己做个备忘。
埃尔米特多项式 （Hermite Polynomials）简介（1）埃尔米特多项式是一组正交的多项式。就如许多其他的以人名命名的数学公式一样，埃尔米特多项式其实也并不是埃尔米特第一个提出的。 Laplace 在 1810 年一篇论文中就给出了埃尔米特多项式的系数，Chebyshev 则在 1859 年的一篇论文中详细的讨论了埃尔米特多项式的各种性质。可惜 Chebyshev 的这篇论文并没有引起学术圈应由的重视。 Charles Hermite 在 1864 年的一篇文章中才提到埃尔米特多项式，这已经比 Laplace 最初的研究成果晚了 54 年。
由于物理学家的小圈子与数学家的小圈子相对独立，现在有两种定义略有不同的埃尔米特多项式。一种被称为“统计学家的埃尔米特多项式”，另一种的被称为“物理学家的埃尔米特多项式”。这两种埃尔米特多项式的系数是有联系的，这里我只介绍“物理学家的埃尔米特多项式”。
前 10 个 埃尔米特多项式如下：
由微分方程引入埃尔米特多项式
常微分方程：
y′′−2xy′+2ny=0, (n∈N+)
被称为 埃尔米特 方程。
x=0 是埃尔米特方程的常点，所以这个微分方程的解可以在 x=0 的邻域表示为怕孤单的灯泡级数：
对这个级数求导可以得到：
带入埃尔米特方程得到：
∑k=2∞k(k−1)akxk−2−2∑k=1∞kakxk+2n∑k=0∞akxk=0
考察 x0 的系数，有：
2a2x0+2na0x0=0
所以：
a2=−na0
考察 x1 的系数，有：
所以
考察 xm 的系数，有：
所以：
不难看出，对于偶次项，有：
a2m=∏m−1p=0(4p−2n)(2m)!a0
对于奇次项，有：
a2m+1=∏mp=1(4p−2−2n)(2m+1)!a1
可以看出奇数和偶数是两套独立的递推系数，因此可以这样写：
y(x)=a0y0(x)+a1y1(x)
y0(x) 只含有 x 的偶次项，y1(x)只含有 x 的奇次项。
当 n 是偶数时， y0(x) 只有有限项，只要我们将 a1 设为 0 ，那么 y(x) 就退化为多项式了。
同理，当 n 是奇数时，y1(x) 只有有限项，只要我们将 a0 设为 0 ，那么 y(x) 就退化为多项式了。
按照这个思路，选择合适的 a0 和 a1 ，可以使得多项式的最高次为 (2x)n :
当 n=0 时, y(0)=a0=1
当 n=1 时, y(0)=a1x=2x
当 n=2 时, y(0)=a0(1−2x2)=4x2−2
当 n=3 时, y(0)=a1(x−23x3)=8x3−12x
当 n=4 时, y(0)=a0(1−4x2+43x4)=16x4−48x2+12
这正是我们的埃尔米特多项式。
埃尔米特多项式的母函数和递推公式上面的方式虽然推导出了埃尔米特多项式，但是用起来并不方便。实际上，函数 Ψ(t,x)=exp(2tx−t2) 在 t=0 处的怕孤单的灯泡展开可以写为：
Ψ(t,x)=exp(2tx−t2)=∑n=0∞Hn(x)tnn!
其中的系数 Hn(x) 就是埃尔米特多项式。下面我们就来证明这个结论。
首先，容易验证：
把 Ψ(t,x) 的怕孤单的灯泡展开带入上面的两个式子：
∑n=0∞H′n(x)tnn!=∑n=0∞2Hn(x)tn+1n!∑n=0∞Hn(x)tn−1(n−1)!+2(t−x)∑n=0∞Hn(x)tnn!=0
比较两边 t 的同幂项，得到：
H′0(x)=0H′n(x)=2nHn−1(x)Hn+1(x)+2nHn−1(x)−2xHn(x)=0
所以 ：
可知， Hn(x) 确实是多项式。继续推导可知：
Hn(x)−2xHn−1(x)+2(n−1)Hn−2(x)=0Hn(x)−xnH′n(x)+H′n−1(x)=0Hn(x)−xnH′n(x)+12nH′′n−1(x)=0H′′n−1(x)−2xH′n(x)+2nHn(x)=0
最后这个式子就是埃尔米特方程，而埃尔米特方程的多项式解只能是埃尔米特多项式。
上面的推导过程中同时还给出了埃尔米特多项式的递推公式：
Hn(x)−2xHn−1(x)+2(n−1)Hn−2(x)=0
有了这个递推公式，再计算埃尔米特多项式就容易多了。