第十二讲：二重积分 普通对称性与轮换对称性积分技巧直角坐标系极角坐标系 其他
普通对称性与轮换对称性 普通对称性
类比一重积分x轴上下对称部分面积会抵消，就大概知道二重积分的积分区域可以通过划分抵消。轮换对称性
交换变量名或者积分的先后次序，并不会改变二重积分的最终结果。 积分技巧 直角坐标系
∫ ∫ D f ( x , y ) = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) d y intint_Df(x,y)=int_a^bdxint_{φ_1(x)}^{φ_2(x)}dy ∫∫Df(x,y)=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)dy(X型区域)
∫ ∫ D f ( x , y ) = ∫ c d d y ∫ φ 1 ( y ) φ 2 ( y ) d x intint_Df(x,y)=int_c^ddyint_{φ_1(y)}^{φ_2(y)}dx ∫∫Df(x,y)=∫cddy∫φ1(y)φ2(y)dx(Y型区域)
后积先定限
(后积分的变量写在外层，写出这个变量的积分范围(一般来说是常数))
限内画条线
(这三句是写先积分变量的积分范围，一般会写成后积分的积分表示)
先交写下限，后交写上限.
（后积分x(上下型)，后积分y(左右型)因为上限要大于下限，所以下->上,左->右) 极角坐标系
∫ ∫ D f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d θ d r intint_Df(rcosθ,rsinθ)rdθdr ∫∫Df(rcosθ,rsinθ)rdθdr
极角坐标一般来说都是后积分θ(写在外层)，在θ1,θ1之间从原点划线，来确定r的范围，参照四句口诀。
用x=rcosθ，y=sinθ来进行相互转。
对于直角方程若存在f(x,y),f(x/y),f(x/y),而且被积分区域面积D是圆形，这时候转化为极坐标计算就很方便计算了。 其他 交换积分次序
画出积分区域D按原函数，按照二重积分四句口诀，选择次序。等待的柚子曲线面积
I = ∫ 0 ∞ e − x 2 = π 2 I=int_0^∞e^{-x^2}=frac {sqrt pi}{2} I=∫0∞e−x2=2π (先计算I*I,用轮换性把积分区域变成第一象限，再用极坐标变换求解)