第１５卷第２期２０１２年３月 高 等 数 学 研 究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．２Ｍａｒ．，２０１２ 基于 ＭＡＴＬＡＢ的二重积分计算方法 无私的背包，wrdds，dmj，zddnp (北京石油化工学院数理系，北京１０２６１７) 收稿日期：２０１１－０５－０６；修改日期：２０１２－０２－２３ 基金项目：北京市 ＵＲＴ计划项目子项目(２０１０Ｊ０００６７) 作者简介：无私的背包(１９７５－)，男，副教授，主要从事优化理论与方法的教学与研究．Ｅｍａｉｌ：ｗａｎｇｒｕｏｐｅｎｇ＠ｂｉｐｔ．ｅｄｕ．ｃｎ wrdds(１９８９－)，男，信息与计算科学专业２００８级本科在读．Ｅｍａｉｌ：ｘｉａｚａｎｘｕｎ＠ｂｉｐｔ．ｅｄｕ．ｃｎ 摘 要 运用 ＭＡＴＬＡＢ 软件，通过对 ＭＡＴＬＡＢ 内部函数的改造，就一般区域上二重积分的计算给出几种计 算方法及相应的 ＭＡＴＬＡＢ 命令，通过实例比较可显示所给方法的有效性．这些方法可加以推广后用以计算一般区 域上的三重积分． 关键词 二重积分；ＭＡＴＬＡＢ；数值积分 中图分类号 Ｏ１７２．２ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８－１３９９(２０１２)０２－００６１－０３ 考虑如下内积分限是函数的二重积分问题［ １－２］ Ｉ ＝ Ｄ ｆ ( ｘ ， ｙ ) ｄ ｘ ｄ ｙ ＝ ∫ ｂ ａ ｄ ｘ ∫ ｄ ( ｘ ) ｃ ( ｘ ) ｆ ( ｘ ， ｙ ) ｄ ｙ ． ( １) 这里考虑ｆ ( ｘ ， ｙ )＝ ｘｙ ， ａ ＝１， ｂ ＝２， ｃ ( ｘ )＝ｓｉｎ ｘ ， ｄ ( ｘ )＝ｃｏｓ ｘ ． 为叙述方便，不妨记 ｇ ( ｘ )＝∫ ｄ ( ｘ ) ｃ ( ｘ ) ｆ ( ｘ ， ｙ ) ｄ ｙ ． ＭＡＴＬＡＢ７．０提供的计算二重积分的方法有符号 解 法 和 数 值 解 法［ ３］． 符 号 解 法 是 使 用ＭＡＴＬＡＢ内部命令ｉｎｔ计算两次一重积分，其结果往往是符号，要计算积分值，必须使用ｖｐａ计算其数值，在２００９ａ版本中，也可以利用ｑｕａｄ２ｄ计算二重积分值，但是对稍微复杂的二重积分，这两个命令无法计算其积分值．而数值解法是利用ｄｂｌｑｕａｄ函数，但要求内外积分限都是常函数，即只能计算矩形区域上的二重积分．对于一般区域上的二重积分计算，文 ［ ２， ４－５］建 议 使 用 美 国 学 者 Ｈｏｗａｒｄ Ｗｉｌｓｏｎ 和 Ｂｒｙｃｅ Ｇａｒｄｎｅｒ开发的数值积分工具箱中的函数 ｇｑｕａｄｚｄｇｇｅｎ． 事实上，通过对 ＭＡＴＬＡＢ中相关计算重积分的函数加以改造，就能胜任内积分限为函数的二重积分计算工作．文中通过对一元函数数值积分方法的推 广、ｄｂｌｑｕａｄ函数的改造以及ｑｕａｄｌ命令的程序处理等三种方法实现一般区域上二重积分的计算问题． １ 二重积分的计算方法 １．１ 一元函数数值积分方法的推广 当积分区域为一般区域时，ＭＡＴＬＡＢ 没有相应的内部函数，可借用一元函数数值积分的方法进行求解．数值解法计算定积分时有梯形公式、龙贝格公式和高斯公式等，这里只讨论梯形公式． 对于二重积分( １)，利用梯形法将区间［ ａ ， ｂ ］等 分为 ｍ 份，记 ｈｘ ＝ ｂ － ａ ｍ ， ｘｉ ＝ ａ ＋ ｉｈｘ ( ｉ ＝１， ２，…， ｍ )， 则有 Ｉ ≈ ｈ ( ｘ ｇ ( ａ )－ ｇ ( ｂ ) ２ ＋∑ ｍ －１ ｉ ＝１ ｇ ( ｘｉ )) ， 其中 ｇ ( ｘｉ )＝∫ ｄ ( ｘｉ ) ｃ ( ｘｉ ) ｆ ( ｘｉ ， ｙ ) ｄ ｙ