如果对于任意向量 u {u} u和 v {v} v，其内积等于转换后向量 T ( u ) T({u}) T(u)和 T ( v ) T({v}) T(v)的内积，则该转换称之为正交变换
即： ⟨ u , v ⟩ = ⟨ T ( u ) , T ( v ) ⟩ langle{u}, {v}rangle=langle T({u}), T({v})rangle ⟨u,v⟩=⟨T(u),T(v)⟩
若 ∥ x ∥ |{x}| ∥x∥ 在空间 R n R^{n} Rn内, n n n 表示维度：
⟨ u , v ⟩ = ⟨ T ( u ) , T ( v ) ⟩ = ∑ i = 0 n − 1 u [ i ] v [ i ] langle{u}, {v}rangle=langle T({u}), T({v})rangle=sum_{i=0}^{n-1} u[i] v[i] ⟨u,v⟩=⟨T(u),T(v)⟩=∑i=0n−1u[i]v[i]
u [ i ] u[i] u[i] 和 v [ i ] v[i] v[i] 分别为 u {u} u 和 v {v} v 中的元素
性质按照向量模长的定义，可知正交转换后的向量模长与转换前的模长相同： ∥ T ( x ) ∥ = ∥ x ∥ |T({x})|=|{x}| ∥T(x)∥=∥x∥
证明：
∥ x ∥ = ( ∑ i = 0 n − 1 x [ i ] 2 ) 1 / 2 = ⟨ x , x ⟩ |{x}| =(sum_{i=0}^{n-1} x[i]^2)^{1/2} = langle{x}, {x}rangle ∥x∥=(∑i=0n−1x[i]2)1/2=⟨x,x⟩
∥ T ( x ) ∥ = ( ∑ i = 0 n − 1 T ( x ) [ i ] 2 ) 1 / 2 = ⟨ T ( x ) , T ( x ) ⟩ |T({x})|=(sum_{i=0}^{n-1} T({x})[i]^2)^{1/2}=langle T({x}), T({x})rangle ∥T(x)∥=(∑i=0n−1T(x)[i]2)1/2=⟨T(x),T(x)⟩
因为： ⟨ x , x ⟩ = ⟨ T ( x ) , T ( x ) ⟩ langle{x}, {x}rangle =langle T({x}), T({x})rangle ⟨x,x⟩=⟨T(x),T(x)⟩
所以： ∥ T ( x ) ∥ = ∥ x ∥ |T({x})|=|{x}| ∥T(x)∥=∥x∥
正交变换不影响转换前后向量间的内积和模长，由此可得，正交变换也不影响转换前后两个向量的夹角
若用矩阵表示 T ( x ) = A x T({x})={A} {x} T(x)=Ax 为正交变换, 则 A {A} A为 正交矩阵
在线性代数中，正交变换是线性变换的一种
参考正交变换