设 X=(X1,X2)∈Rm×n∼N(μ,Σ) ，其中 X1∈Rm,X2∈Rn,μ=(μ1,μ2),μ1=E(X1),μ2=E(X2),Σ∈R(m+n)×(m+n) .
这里,
由此可知， {X1∼N(μ1,Σ11)X2∼N(μ2,Σ22) ，即联合nrdxrz ⟹ 边缘nrdxrz。那么 X2 在 X1 条件下的条件分布为
fX2|X1(x2|x1)=fX1,X2(x1,x2)fX1(x1)
注意，这里的 X1,X2,x1,x2 都是列向量（随机向量）。为了计算上面这个条件分布，必须知道边缘分布 fX1(x1) 和联合分布 fX2|X1(x2|x1) ，这两个分布的形式如下：
fX1(x1)=C1exp(−12(x1−μ1)TΣ−1(x1−μ1))fX2|X1(x2|x1)=C1,2exp(−12((x1−μ1)T,(x2−μ2)T)(Σ11Σ21Σ12Σ22)−1(x1−μ1x2−μ2))
要计算联合分布 fX2|X1(x2|x1) 是一件十分困难的事情，由协方差矩阵为对称矩阵的性质，我们同样可以将其对角化。但是这个对角化不能随便做，因为我们要尽量完整地保留 Σ11 ，因为这里处理的是在 X1 已知的条件下计算条件概率。也就是说，对角化的目标就是对
Σ=(Σ11Σ21Σ12Σ22)
将 Σ11 完整保留，同时将副对角线化为 0 。这里我们采用一种打洞技巧，即：
(Σ11Σ21Σ12Σ22)→(Σ1100something)
为达到这个目的，我们先对 Σ 进行行变换，
(I−Σ21Σ−1110I)(Σ11Σ21Σ12Σ22)=(Σ110Σ12Σ22−Σ21Σ−111Σ12)
再对上面的结果进行列变换
(Σ110Σ12Σ22−Σ21Σ−111Σ12)(I0−Σ−111Σ12I)=(Σ1100Σ22−Σ21Σ−111Σ12)
于是，我们可以得到
(I0−Σ−111Σ12I)−1(Σ11Σ21Σ12Σ22)−1(I−Σ21Σ−1110I)−1=(Σ−11100(Σ22−Σ21Σ−111Σ12)−1)
也就是说
(Σ11Σ21Σ12Σ22)−1=(I0−Σ−111Σ12I)(Σ−11100(Σ22−Σ21Σ−111Σ12)−1)(I−Σ21Σ−1110I)
这时我们就计算出了 fX2|X1(x2|x1)=C1,2exp(−12((x1−μ1)T,(x2−μ2)T)(Σ11Σ21Σ12Σ22)−1(x1−μ1x2−μ2))
中的协方差矩阵的逆。此时
−12((x1−μ1)T,(x2−μ2)T)(Σ11Σ21Σ12Σ22)−1(x1−μ1x2−μ2)=−12((x1−μ1)T,(x2−μ2)T)(I0−Σ−111Σ12I)(Σ−11100(Σ22−Σ21Σ−111Σ12)−1)(I−Σ21Σ−1110I)(x1−μ1x2−μ2)=−12(x1−μ1)TΣ−111(x1−μ1)−12(x2−μ2−Σ21Σ−111(x1−μ1))T(Σ22−Σ21Σ−111Σ12)−1(x2−μ2−Σ21Σ−111(x1−μ1))
现在我们可以计算 X2 的条件期望， μX2|X1=E(X2|X1)=μ2+Σ21Σ−111(x1−μ1) ，其中 μ2 是先验期望。为方便观察其物理含义，可以在低维情况下进行直观理解。假如随机变量 X1,X2 均为一维随机变量，则 μX2|X1=μ2+σ12σ11(x1−μ1)
这个式子中， μ2 是先验期望， σ12 是互相关， σ11 是归一化因子，也就是说，互相关越大， X1 所能提供的新信息越值得信任！